Giải giup to

Câu 1. Để tìm $F(x)$, ta cần tính nguyên hàm của $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$. Bước 1: Tính nguyên hàm của $f(x)$: \[ F(x) = \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx \] Ta tính từng phần nguyên hàm: \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] \[ \int -4x \, dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2 \] \[ \int 1 \, dx = x \] Do đó: \[ F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(2) = 2$: \[ F(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 + C = 2 \] \[ 8 - 8 + 2 + C = 2 \] \[ 2 + C = 2 \] \[ C = 0 \] Vậy, $F(x) = x^3 - 2x^2 + x$. Bước 3: Tính $F(3)$: \[ F(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 \] \[ = 27 - 18 + 3 \] \[ = 12 \] Vậy, $F(3) = 12$. Câu 2. Trước tiên, chúng ta sẽ xác định phương trình của hai đường parabol. Vì hai đường parabol đối xứng nhau qua đường kính AB và đi qua các điểm A và B, ta có thể giả sử rằng đường tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) và đường kính AB nằm trên trục Ox. Do đó, điểm A có tọa độ (-5,0) và điểm B có tọa độ (5,0). Hai đường parabol đối xứng nhau qua trục Ox và đỉnh của mỗi parabol cách mép hình tròn 1m. Điều này có nghĩa là đỉnh của mỗi parabol nằm trên trục y ở khoảng cách 1m từ mép hình tròn. Vì đường kính của hình tròn là 10m, bán kính là 5m, nên đỉnh của mỗi parabol nằm ở tọa độ (0,4) hoặc (0,-4). Ta sẽ xem xét đường parabol đi qua điểm A(-5,0), B(5,0) và đỉnh (0,4). Phương trình của đường parabol có dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \] Vì đỉnh của parabol là (0,4), ta có: \[ c = 4 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ y = ax^2 + bx + 4 \] Vì parabol đi qua điểm A(-5,0), ta thay vào phương trình: \[ 0 = a(-5)^2 + b(-5) + 4 \] \[ 0 = 25a - 5b + 4 \] \[ 25a - 5b = -4 \quad \text{(1)} \] Vì parabol đi qua điểm B(5,0), ta thay vào phương trình: \[ 0 = a(5)^2 + b(5) + 4 \] \[ 0 = 25a + 5b + 4 \] \[ 25a + 5b = -4 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta giải hệ phương trình (1) và (2): \[ 25a - 5b = -4 \] \[ 25a + 5b = -4 \] Cộng hai phương trình lại: \[ 50a = -8 \] \[ a = -\frac{4}{25} \] Thay \( a = -\frac{4}{25} \) vào phương trình (1): \[ 25 \left( -\frac{4}{25} \right) - 5b = -4 \] \[ -4 - 5b = -4 \] \[ -5b = 0 \] \[ b = 0 \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ y = -\frac{4}{25}x^2 + 4 \] Phương trình của đường parabol đối xứng là: \[ y = -\frac{4}{25}x^2 - 4 \] Tiếp theo, ta tính diện tích phần giới hạn bởi hai đường parabol. Diện tích này là hai lần diện tích giữa một đường parabol và trục Ox từ x = -5 đến x = 5. Diện tích giữa một đường parabol và trục Ox từ x = -5 đến x = 5 là: \[ A = 2 \int_{-5}^{5} \left( 4 - \frac{4}{25}x^2 \right) dx \] Tính tích phân: \[ \int_{-5}^{5} \left( 4 - \frac{4}{25}x^2 \right) dx = \left[ 4x - \frac{4}{75}x^3 \right]_{-5}^{5} \] \[ = \left( 4(5) - \frac{4}{75}(5)^3 \right) - \left( 4(-5) - \frac{4}{75}(-5)^3 \right) \] \[ = \left( 20 - \frac{4}{75} \cdot 125 \right) - \left( -20 + \frac{4}{75} \cdot 125 \right) \] \[ = \left( 20 - \frac{500}{75} \right) - \left( -20 + \frac{500}{75} \right) \] \[ = \left( 20 - \frac{20}{3} \right) - \left( -20 + \frac{20}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{60}{3} - \frac{20}{3} \right) - \left( -\frac{60}{3} + \frac{20}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{40}{3} \right) - \left( -\frac{40}{3} \right) \] \[ = \frac{40}{3} + \frac{40}{3} \] \[ = \frac{80}{3} \] Vậy diện tích phần giới hạn bởi hai đường parabol là: \[ A = 2 \times \frac{80}{3} = \frac{160}{3} \approx 53.33 \text{ m}^2 \] Cuối cùng, chi phí để trồng hoa trong phần này là: \[ 53.33 \times 200 = 10666 \text{ nghìn đồng} \] Đáp số: Chi phí để trồng hoa trong phần giới hạn bởi hai đường parabol là 10666 nghìn đồng.