Câu 3. Lập phương trình đường thẳng đi qua A(2;3) và tạo với đường thẳng d:2x+y-4=0 một góc bằng 45°.

Question

Accepted Answer

Câu 3.
Để lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(2;3)$ và tạo với đường thẳng $d: 2x + y - 4 = 0$ một góc bằng 45°, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hệ số góc của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình $2x + y - 4 = 0$. Ta viết lại phương trình này dưới dạng $y = -2x + 4$. Vậy hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k_d = -2$.

2. Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:
   Gọi đường thẳng cần tìm có phương trình $y = kx + b$. Hệ số góc của đường thẳng này là $k$. Theo công thức góc giữa hai đường thẳng, ta có:
   $$
   \tan(\theta) = \left| \frac{k - k_d}{1 + k \cdot k_d} \right|
   $$
   Trong đó $\theta = 45^\circ$, vậy $\tan(45^\circ) = 1$. Thay vào ta có:
   $$
   1 = \left| \frac{k - (-2)}{1 + k \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{k + 2}{1 - 2k} \right|
   $$

3. Giải phương trình để tìm $k$:
   Ta có hai trường hợp:
   $$
   \frac{k + 2}{1 - 2k} = 1 \quad \text{hoặc} \quad \frac{k + 2}{1 - 2k} = -1
   $$

- Trường hợp 1: 
     $$
     \frac{k + 2}{1 - 2k} = 1 \implies k + 2 = 1 - 2k \implies 3k = -1 \implies k = -\frac{1}{3}
     $$

- Trường hợp 2:
     $$
     \frac{k + 2}{1 - 2k} = -1 \implies k + 2 = -(1 - 2k) \implies k + 2 = -1 + 2k \implies k = 3
     $$

4. Lập phương trình đường thẳng:
   - Với $k = -\frac{1}{3}$:
     $$
     y = -\frac{1}{3}x + b
     $$
     Thay điểm $A(2;3)$ vào phương trình:
     $$
     3 = -\frac{1}{3}(2) + b \implies 3 = -\frac{2}{3} + b \implies b = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}
     $$
     Vậy phương trình đường thẳng là:
     $$
     y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}
     $$

- Với $k = 3$:
     $$
     y = 3x + b
     $$
     Thay điểm $A(2;3)$ vào phương trình:
     $$
     3 = 3(2) + b \implies 3 = 6 + b \implies b = -3
     $$
     Vậy phương trình đường thẳng là:
     $$
     y = 3x - 3
     $$

Kết luận: Phương trình của các đường thẳng đi qua điểm $A(2;3)$ và tạo với đường thẳng $d: 2x + y - 4 = 0$ một góc bằng 45° là:
$$
y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3} \quad \text{hoặc} \quad y = 3x - 3
$$