rdrdrdrdrd4s4s4srs

Câu 7. Để tính góc giữa hai đường thẳng \(AI\) và \(BC'\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - \(I\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(BI = IC = \frac{a}{2}\). - \(A'A \perp (ABC)\) và \(A'A = 2a\). 2. Tìm tọa độ các điểm: - Chọn hệ tọa độ sao cho \(A\) là gốc tọa độ, \(B\) nằm trên trục Ox, và \(C\) nằm trong mặt phẳng Oxy. - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(a, 0, 0)\) - \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\) - \(I\) là trung điểm của \(BC\), do đó: \[ I\left(\frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}, 0\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0\right) \] - \(A'(0, 0, 2a)\) 3. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AI} \) và \( \overrightarrow{BC'} \): - \( \overrightarrow{AI} = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0\right) \) - \( \overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{BB'} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) + (0, 0, 2a) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 2a\right) \) 4. Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BC'} \): \[ \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BC'} = \left(\frac{3a}{4}\right)\left(-\frac{a}{2}\right) + \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) + (0)(2a) \] \[ = -\frac{3a^2}{8} + \frac{3a^2}{8} + 0 = 0 \] 5. Tính độ dài các vectơ \(|\overrightarrow{AI}|\) và \(|\overrightarrow{BC'}|\): \[ |\overrightarrow{AI}| = \sqrt{\left(\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{3a^2}{16}} = \sqrt{\frac{12a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] \[ |\overrightarrow{BC'}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \] 6. Tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BC'}}{|\overrightarrow{AI}| \cdot |\overrightarrow{BC'}|} = \frac{0}{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (a\sqrt{5})} = 0 \] 7. Tính góc \(\theta\): \[ \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng \(AI\) và \(BC'\) là \(90^\circ\).