gạiabahhah

Câu 10. Để xác định mối quan hệ giữa hai biến cố A và B, ta sẽ kiểm tra các điều kiện của từng loại biến cố. 1. Biến cố không xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là không xung khắc nếu chúng có thể xảy ra cùng một lúc, tức là \( P(A \cap B) > 0 \). 2. Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu xác suất của mỗi biến cố không phụ thuộc vào việc biến cố kia có xảy ra hay không, tức là \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). 3. Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra cùng một lúc, tức là \( P(A \cap B) = 0 \). Ta biết rằng: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Thay các giá trị đã cho vào công thức trên: \[ \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - P(A \cap B) \] Tính \( P(A \cap B) \): \[ \frac{1}{2} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} - P(A \cap B) \] \[ \frac{1}{2} = \frac{7}{12} - P(A \cap B) \] \[ P(A \cap B) = \frac{7}{12} - \frac{1}{2} \] \[ P(A \cap B) = \frac{7}{12} - \frac{6}{12} \] \[ P(A \cap B) = \frac{1}{12} \] Vì \( P(A \cap B) = \frac{1}{12} > 0 \), nên hai biến cố A và B là không xung khắc. Do đó, đáp án đúng là: A. Không xung khắc Câu 11. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các mặt là hình vuông, tức là tất cả các cạnh của hình hộp đều bằng nhau và các góc giữa các cạnh cũng là 90°. Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng AB và A'C'. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình hộp và các góc vuông. 1. Xét tam giác ABB', ta thấy rằng AB và BB' là hai cạnh của hình vuông nên góc giữa chúng là 90°. 2. Xét tam giác A'B'C', ta thấy rằng A'C' là đường chéo của mặt đáy hình vuông A'B'C'D', do đó góc giữa A'C' và A'B' cũng là 45°. Bây giờ, ta xét tam giác ABA'C'. Ta thấy rằng: - AB và A'B' là hai cạnh của hình vuông, do đó góc giữa chúng là 90°. - A'C' là đường chéo của mặt đáy hình vuông A'B'C'D', do đó góc giữa A'C' và A'B' là 45°. Do đó, góc giữa AB và A'C' sẽ là góc giữa hai đường thẳng trong tam giác ABA'C', và ta có thể thấy rằng góc này là 45°. Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và A'C' là \(45^\circ\). Đáp án đúng là: A. \(45^\circ\). Câu 12. Để xác định đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho: A. \( y = 2' \) - Đây là một hàm hằng, đồ thị của nó là một đường thẳng song song với trục hoành. Điều này không phù hợp với đường cong trong hình. B. \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \) - Đây cũng là một hàm hằng, đồ thị của nó là một đường thẳng song song với trục hoành. Điều này không phù hợp với đường cong trong hình. C. \( y = \log_2 x \) - Hàm số \( y = \log_2 x \) là hàm lôgarit cơ số 2. Đồ thị của nó đi qua điểm (1,0) và tăng dần từ trái sang phải, nhưng tốc độ tăng chậm dần. Điều này không phù hợp với đường cong trong hình. D. \( y = x^2 \) - Hàm số \( y = x^2 \) là hàm bậc hai, đồ thị của nó là một parabol mở rộng lên trên, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0). Điều này phù hợp với đường cong trong hình. Do đó, đường cong trong hình là đồ thị của hàm số \( y = x^2 \). Đáp án đúng là: D. \( y = x^2 \). Câu 1. a) $y=2^x$ - Hàm số này là hàm mũ cơ bản, có thể tính toán với mọi giá trị thực của $x$. Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \] b) $y = \ln x^2 + 3 \log(x + 2)$ - Xét phần $\ln x^2$: ĐKXĐ là $x^2 > 0$, suy ra $x \neq 0$. - Xét phần $\log(x + 2)$: ĐKXĐ là $x + 2 > 0$, suy ra $x > -2$. - Kết hợp hai điều kiện trên, ta có tập xác định của hàm số là: \[ D = (-2, 0) \cup (0, +\infty) \] c) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x + 2e^x$ - Cả hai thành phần $(\frac{1}{3})^x$ và $2e^x$ đều là hàm mũ cơ bản, có thể tính toán với mọi giá trị thực của $x$. Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \] d) $y = \log_2(x - 3x^2)$ - Xét phần $\log_2(x - 3x^2)$: ĐKXĐ là $x - 3x^2 > 0$, suy ra $x(1 - 3x) > 0$. - Giải bất phương trình $x(1 - 3x) > 0$: - Ta có $x = 0$ hoặc $1 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$. - Xét dấu của $x(1 - 3x)$ trên các khoảng $(0, \frac{1}{3})$ và $(\frac{1}{3}, +\infty)$: - Khi $x < 0$, $x(1 - 3x) < 0$. - Khi $0 < x < \frac{1}{3}$, $x(1 - 3x) > 0$. - Khi $x > \frac{1}{3}$, $x(1 - 3x) < 0$. - Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (0, \frac{1}{3}) \] Đáp số: a) $D = \mathbb{R}$ b) $D = (-2, 0) \cup (0, +\infty)$ c) $D = \mathbb{R}$ d) $D = (0, \frac{1}{3})$ Câu 2. a) Bất phương trình $(\frac12)^x > 32$ tương đương với $\log_{\frac12}(\frac12)^x < \log_{\frac12}32$ vì $\frac12 < 1$. Do đó, $x < -5$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty, -5)$. b) Phương trình $\log_2(2x-2) = 3$ có điều kiện nghiệm là $2x - 2 > 0$, tức là $x > 1$. Từ phương trình, ta có $2x - 2 = 2^3$, suy ra $2x - 2 = 8$, suy ra $2x = 10$, suy ra $x = 5$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$. c) Phương trình $3^{x-1} = 6$ có thể viết lại thành $3^{x-1} = 3 \cdot 2$. Nhận thấy rằng $3^{x-1}$ là lũy thừa cơ số 3, trong khi $3 \cdot 2$ không phải là lũy thừa cơ số 3, nên phương trình này không có nghiệm. Phương trình $x^2 - 2x + 4 = 0$ có biệt số $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$, do đó phương trình này cũng không có nghiệm thực. Vậy cả hai phương trình đều không có nghiệm chung. d) Bất phương trình $16^x < \frac14$ có thể viết lại thành $(2^4)^x < 2^{-2}$, tức là $2^{4x} < 2^{-2}$. Do đó, $4x < -2$, suy ra $x < -\frac12$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty, -\frac12)$. Câu 3. a) Gọi A là biến cố: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 2". Các số chia hết cho 2 trong khoảng từ 1 đến 10 là: 2, 4, 6, 8, 10. Số lượng các số chia hết cho 2 là 5. Vậy xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \] b) Xác suất để rút được thẻ đánh số chia hết cho 2 hoặc cho 7. Các số chia hết cho 2 đã liệt kê ở trên là: 2, 4, 6, 8, 10. Các số chia hết cho 7 trong khoảng từ 1 đến 10 là: 7. Số lượng các số chia hết cho 2 hoặc cho 7 là: 5 + 1 = 6. Vậy xác suất của biến cố này là: \[ P(\text{chia hết cho 2 hoặc cho 7}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] c) Gọi B là biến cố: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 7". Các số chia hết cho 7 trong khoảng từ 1 đến 10 là: 7. Số lượng các số chia hết cho 7 là 1. Vậy xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{1}{10} \] d) Gọi C là biến cố: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 2". Các số chia hết cho 2 trong khoảng từ 1 đến 10 là: 2, 4, 6, 8, 10. Số lượng các số chia hết cho 2 là 5. Vậy xác suất của biến cố C là: \[ P(C) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \] Đáp số: a) \( P(A) = \frac{1}{2} \) b) \( P(\text{chia hết cho 2 hoặc cho 7}) = \frac{3}{5} \) c) \( P(B) = \frac{1}{10} \) d) \( P(C) = \frac{1}{2} \) Câu 4. Để chứng minh rằng hình hộp ABCD - A'B'C'D' có 6 mặt đều là hình vuông, ta cần kiểm tra các điều kiện sau: 1. Tất cả các mặt của hình hộp đều là hình vuông: - Mặt đáy ABCD là hình vuông. - Mặt đáy trên A'B'C'D' cũng là hình vuông. - Các mặt bên AA'B'B, BB'C'C, CC'D'D, DD'A'A cũng là hình vuông. 2. Kiểm tra các cạnh và góc: - Vì ABCD là hình vuông, nên các cạnh AB = BC = CD = DA và các góc nội tiếp đều là 90°. - Vì A'B'C'D' là hình vuông, nên các cạnh A'B' = B'C' = C'D' = D'A' và các góc nội tiếp đều là 90°. - Các mặt bên AA'B'B, BB'C'C, CC'D'D, DD'A'A cũng là hình vuông, do đó các cạnh AA' = BB' = CC' = DD' và các góc nội tiếp đều là 90°. 3. Kiểm tra các đường chéo: - Đường chéo AC của mặt đáy ABCD bằng đường chéo BD của mặt đáy ABCD. - Đường chéo A'C' của mặt đáy trên A'B'C'D' bằng đường chéo B'D' của mặt đáy trên A'B'C'D'. 4. Kiểm tra các cạnh thẳng đứng: - Các cạnh thẳng đứng AA', BB', CC', DD' đều bằng nhau và vuông góc với các mặt đáy. Do đó, tất cả các mặt của hình hộp ABCD - A'B'C'D' đều là hình vuông. Kết luận: Hình hộp ABCD - A'B'C'D' có 6 mặt đều là hình vuông.