Sosssssssssssssss

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{d^{21}} \) và \( \overrightarrow{b^{11}} \). Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm. - Điểm \( d^{21} \) có tọa độ là \( (2; -3) \). - Điểm \( b^{11} \) có tọa độ là \( (2; -3) \). Bước 2: Xác định vectơ \( \overrightarrow{d^{21}} \) và \( \overrightarrow{b^{11}} \). - Vectơ \( \overrightarrow{d^{21}} \) có tọa độ là \( (2; -3) \). - Vectơ \( \overrightarrow{b^{11}} \) có tọa độ là \( (2; -3) \). Bước 3: Tính tích vô hướng của hai vectơ. Tích vô hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{u} = (u_1, u_2) \) và \( \overrightarrow{v} = (v_1, v_2) \) được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 \] Áp dụng công thức này cho vectơ \( \overrightarrow{d^{21}} \) và \( \overrightarrow{b^{11}} \): \[ \overrightarrow{d^{21}} \cdot \overrightarrow{b^{11}} = 2 \cdot 2 + (-3) \cdot (-3) \] \[ = 4 + 9 \] \[ = 13 \] Như vậy, tích vô hướng của vectơ \( \overrightarrow{d^{21}} \) và \( \overrightarrow{b^{11}} \) là 13. Đáp án đúng là: D. 13 Đáp số: 13 Câu 2. Để tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng: \[ \cos \alpha = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}} \right| \] Trong đó: - $\Delta_1: 2x - 3y + 1 = 0$ có $A_1 = 2$, $B_1 = -3$ - $\Delta_2: 3x + 2y - 7 = 0$ có $A_2 = 3$, $B_2 = 2$ Ta thay các giá trị này vào công thức: \[ \cos \alpha = \left| \frac{2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2}{\sqrt{2^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{3^2 + 2^2}} \right| \] Tính từng phần: \[ 2 \cdot 3 = 6 \] \[ (-3) \cdot 2 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \] Do đó: \[ \cos \alpha = \left| \frac{0}{\sqrt{2^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{3^2 + 2^2}} \right| = 0 \] Khi $\cos \alpha = 0$, góc $\alpha$ là $90^\circ$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $90^\circ$. Đáp án đúng là: D. $\alpha = 90^\circ$. Câu 3. Để tìm tập xác định \( D \) của hàm số \( y = \frac{19x + 5}{18x - 90} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số của phân thức không bằng không vì nếu mẫu số bằng không thì hàm số sẽ không xác định. Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số không bằng không: \[ 18x - 90 \neq 0 \] Bước 2: Giải phương trình \( 18x - 90 = 0 \): \[ 18x = 90 \] \[ x = \frac{90}{18} \] \[ x = 5 \] Bước 3: Kết luận tập xác định \( D \): Hàm số \( y = \frac{19x + 5}{18x - 90} \) xác định khi \( x \neq 5 \). Do đó, tập xác định \( D \) của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{5\} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( D = \mathbb{R} \setminus \{5\} \) Đáp số: A. \( D = \mathbb{R} \setminus \{5\} \) Câu 4. Để giải bất phương trình \(2x^2 + 5x - 12 = 0\) và tìm số nghiệm nguyên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai: Phương trình \(2x^2 + 5x - 12 = 0\) có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), trong đó \(a = 2\), \(b = 5\), và \(c = -12\). Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Thay các giá trị \(a\), \(b\), và \(c\) vào công thức: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{4} \] \[ x = \frac{-5 \pm 11}{4} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-5 + 11}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] \[ x_2 = \frac{-5 - 11}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \] 2. Kiểm tra các nghiệm nguyên: Các nghiệm của phương trình là \(x = \frac{3}{2}\) và \(x = -4\). Trong đó, chỉ có \(x = -4\) là nghiệm nguyên. Vậy phương trình \(2x^2 + 5x - 12 = 0\) có duy nhất một nghiệm nguyên là \(x = -4\). Đáp án: B. 1. Câu 5. Để tìm tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số $y = x^2 + 2x - 1$, ta sử dụng công thức tọa độ đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$. Tọa độ đỉnh của parabol được tính theo công thức: \[ I \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \] Trong đó: - \( a = 1 \) - \( b = 2 \) - \( c = -1 \) Bước 1: Tính hoành độ đỉnh \( x_I \): \[ x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times 1} = -1 \] Bước 2: Thay \( x_I = -1 \) vào phương trình hàm số để tìm tung độ đỉnh \( y_I \): \[ y_I = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \] Vậy tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số \( y = x^2 + 2x - 1 \) là \( I(-1, -2) \). Do đó, đáp án đúng là: A. \( I(-1, -2) \) Câu 6. Để lập bảng xét dấu của tam thức $f(x) = -x^2 + 6x - 9$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của tam thức: Ta giải phương trình $-x^2 + 6x - 9 = 0$. Nhân cả hai vế với -1 để dễ dàng hơn: \[ x^2 - 6x + 9 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai hoàn chỉnh, ta có thể viết lại dưới dạng: \[ (x - 3)^2 = 0 \] Giải phương trình này, ta được: \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] Vậy nghiệm của tam thức là $x = 3$. 2. Xét dấu của tam thức: Ta thấy rằng tam thức $f(x) = -(x - 3)^2$ luôn luôn âm hoặc bằng không vì $(x - 3)^2$ luôn luôn dương hoặc bằng không và nhân với -1 sẽ làm nó trở thành âm hoặc bằng không. - Khi $x < 3$, $(x - 3)^2 > 0$, do đó $-(x - 3)^2 < 0$. - Khi $x = 3$, $(x - 3)^2 = 0$, do đó $-(x - 3)^2 = 0$. - Khi $x > 3$, $(x - 3)^2 > 0$, do đó $-(x - 3)^2 < 0$. 3. Lập bảng xét dấu: Ta có bảng xét dấu của tam thức $f(x) = -x^2 + 6x - 9$ như sau: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f(x) & - & 0 & - \\ \end{array} \] Như vậy, bảng xét dấu của tam thức $f(x) = -x^2 + 6x - 9$ là: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f(x) & - & 0 & - \\ \end{array} \] Đáp án đúng là bảng xét dấu tương ứng với các lựa chọn A, B, C, D trong đề bài. Câu 7. Hàm số $y = x - 2$ là một hàm số bậc nhất, và nó được xác định trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. Điều này có nghĩa là không có giá trị nào của $x$ làm cho hàm số không xác định. Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \] Trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với tập xác định của hàm số $y = x - 2$. Tuy nhiên, nếu chúng ta phải chọn một trong các đáp án đã cho, thì đáp án gần đúng nhất là: A. $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ Nhưng thực tế, đáp án đúng là $D = \mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là: \[ D = \mathbb{R} \] Câu 8. Để xác định điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta:~x+3y-4=0$, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Với điểm $M(0;4)$: Thay $x = 0$ và $y = 4$ vào phương trình: \[0 + 3 \times 4 - 4 = 0 + 12 - 4 = 8 \neq 0\] Vậy điểm $M(0;4)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. B. Với điểm $N(1;2)$: Thay $x = 1$ và $y = 2$ vào phương trình: \[1 + 3 \times 2 - 4 = 1 + 6 - 4 = 3 \neq 0\] Vậy điểm $N(1;2)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. C. Với điểm $P(1;1)$: Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào phương trình: \[1 + 3 \times 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0\] Vậy điểm $P(1;1)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. D. Với điểm $Q(-1;2)$: Thay $x = -1$ và $y = 2$ vào phương trình: \[-1 + 3 \times 2 - 4 = -1 + 6 - 4 = 1 \neq 0\] Vậy điểm $Q(-1;2)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. Kết luận: Điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ là điểm $P(1;1)$. Đáp án đúng là: C. $P(1;1)$. Câu 9. Để xác định hàm số có đồ thị như hình vẽ, ta cần kiểm tra các tính chất của đồ thị hàm số bậc hai. 1. Kiểm tra dấu của hệ số \(a\): - Đồ thị của hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + c\) mở ra phía trên nếu \(a > 0\) và mở ra phía dưới nếu \(a < 0\). - Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị mở ra phía dưới, do đó \(a < 0\). 2. Kiểm tra điểm cực đại: - Đồ thị có đỉnh ở phía trên trục hoành, tức là hàm số đạt giá trị cực đại tại đỉnh. - Điều này cũng phù hợp với \(a < 0\). 3. Kiểm tra các đáp án: - A. \(y = x^2 - 3x + 1\): Hệ số \(a = 1 > 0\), nên đồ thị mở ra phía trên. Loại. - B. \(y = -x^2 + 3x - 1\): Hệ số \(a = -1 < 0\), nên đồ thị mở ra phía dưới. Đúng. - C. \(y = -2x^2 + 3x - 1\): Hệ số \(a = -2 < 0\), nên đồ thị mở ra phía dưới. Đúng. - D. \(y = 2x^2 - 3x + 1\): Hệ số \(a = 2 > 0\), nên đồ thị mở ra phía trên. Loại. 4. Kiểm tra thêm các điểm trên đồ thị: - Ta có thể kiểm tra thêm các điểm trên đồ thị để xác định chính xác hơn. - Ví dụ, tại \(x = 0\), giá trị của hàm số là \(y = -1\). Điều này phù hợp với cả B và C. 5. Kiểm tra đỉnh của đồ thị: - Đỉnh của đồ thị hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) là \(\left( -\frac{b}{2a}, y_{\text{đỉnh}} \right)\). - Với B: \(y = -x^2 + 3x - 1\), đỉnh là \(\left( \frac{3}{2}, \frac{5}{4} \right)\). - Với C: \(y = -2x^2 + 3x - 1\), đỉnh là \(\left( \frac{3}{4}, \frac{5}{8} \right)\). Từ các kiểm tra trên, ta thấy rằng đồ thị của hàm số \(y = -x^2 + 3x - 1\) phù hợp với hình vẽ. Đáp án đúng là: B. \(y = -x^2 + 3x - 1\). Câu 10. Để giải phương trình $\sqrt{x^2+1}=2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình đã cho là $\sqrt{x^2+1}=2$. Ta thấy rằng $x^2 + 1$ luôn dương với mọi giá trị của $x$, do đó phương trình này luôn có nghĩa với mọi $x$. Vậy ĐKXĐ là $x \in \mathbb{R}$. Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (\sqrt{x^2+1})^2 = 2^2 \] \[ x^2 + 1 = 4 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 + 1 = 4 \] \[ x^2 = 4 - 1 \] \[ x^2 = 3 \] \[ x = \pm \sqrt{3} \] Bước 4: Kiểm tra lại các nghiệm trong ĐKXĐ: - Ta thấy rằng $x = \sqrt{3}$ và $x = -\sqrt{3}$ đều thỏa mãn ĐKXĐ $x \in \mathbb{R}$. Vậy phương trình $\sqrt{x^2+1}=2$ có nghiệm là $x = \pm \sqrt{3}$. Đáp án đúng là: C. $x = \pm \sqrt{3}$. Câu 11. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(5; -1) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x + 2y + 13 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0) \) là tọa độ của điểm \( M \), tức là \( (5, -1) \). - \( A, B, C \) là các hệ số trong phương trình đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \), ở đây \( A = 3 \), \( B = 2 \), và \( C = 13 \). Bước 1: Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} \] Bước 2: Tính toán biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối: \[ 3 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) + 13 = 15 - 2 + 13 = 26 \] Bước 3: Tính giá trị tuyệt đối: \[ |26| = 26 \] Bước 4: Tính căn bậc hai của tổng bình phương các hệ số \( A \) và \( B \): \[ \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \] Bước 5: Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ d = \frac{26}{\sqrt{13}} \] Bước 6: Rút gọn kết quả: \[ d = \frac{26}{\sqrt{13}} = 2 \sqrt{13} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(5; -1) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x + 2y + 13 = 0 \) là \( 2 \sqrt{13} \). Đáp án đúng là: D. \( 2 \sqrt{13} \).