giải và giải thích giúp tôi

Câu 1. a) Đặt $u=(x-1)^2$. Ta có $y=\ln u + 3\log_5(x+3)$. Để hàm số có nghĩa thì $(x-1)^2 > 0$ và $x+3 > 0$. Từ $(x-1)^2 > 0$, ta có $x \neq 1$. Từ $x+3 > 0$, ta có $x > -3$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = (-3, 1) \cup (1, +\infty)$. b) Hàm số $y = \log_{0,2}x$ có cơ số $0 < 0,2 < 1$, nên hàm số này nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$. c) Cho $a > 0, a \neq 1$, ta có $\log_a a = 1$. Điều này đúng vì theo định nghĩa của logarit, $\log_a a$ là số mũ mà cơ số $a$ phải lũy thừa lên để được $a$, tức là $a^1 = a$. d) Biểu thức $D = \log_a \frac{\sqrt{a^5}}{a \cdot \sqrt[3]{a}}$. Ta có $\sqrt{a^5} = a^{5/2}$ và $\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$. Do đó, $\frac{\sqrt{a^5}}{a \cdot \sqrt[3]{a}} = \frac{a^{5/2}}{a \cdot a^{1/3}} = \frac{a^{5/2}}{a^{1 + 1/3}} = \frac{a^{5/2}}{a^{4/3}} = a^{(5/2 - 4/3)} = a^{(15/6 - 8/6)} = a^{7/6}$. Vậy $D = \log_a a^{7/6} = \frac{7}{6}$. Vì $\frac{7}{6} > 1$, nên $D > 1$. Câu 2. a) Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên BC vuông góc AB. Mặt khác, SA vuông góc với (ABC) nên BC vuông góc SA. Từ đó suy ra BC vuông góc với mặt phẳng SAB. b) Vì SA vuông góc với (ABC) nên góc SBA là góc giữa SB và (ABC). Xét tam giác SAB vuông tại A có: $\frac{AB}{SA} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \sin 30^\circ$ Suy ra góc SBA = 60° c) Vì M là trung điểm của AC nên BM vuông góc AC. Mặt khác, SA vuông góc với (ABC) nên SA vuông góc BM. Từ đó suy ra góc giữa SA và BM bằng góc giữa SA và (ABC) là 60° d) Vì SA vuông góc với (ABC) nên góc SCA là góc giữa SC và (ABC). Xét tam giác SAC vuông tại A có: $\frac{AC}{SA} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ Suy ra $\tan \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$ Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi biểu thức $\log_{108}135$ thành dạng liên quan đến $\log_63$ và $\log_35$. Bước 1: Biến đổi $\log_{108}135$ thành dạng liên quan đến $\log_63$ và $\log_35$. Ta có: \[ \log_{108}135 = \frac{\log_6 135}{\log_6 108} \] Bước 2: Biến đổi $\log_6 135$ và $\log_6 108$ thành các biểu thức liên quan đến $\log_6 3$ và $\log_3 5$. Ta biết rằng: \[ 135 = 3^3 \times 5 \quad \text{và} \quad 108 = 3^3 \times 4 = 3^3 \times 2^2 \] Do đó: \[ \log_6 135 = \log_6 (3^3 \times 5) = \log_6 3^3 + \log_6 5 = 3 \log_6 3 + \log_6 5 \] \[ \log_6 108 = \log_6 (3^3 \times 2^2) = \log_6 3^3 + \log_6 2^2 = 3 \log_6 3 + 2 \log_6 2 \] Bước 3: Biến đổi $\log_6 5$ và $\log_6 2$ thành các biểu thức liên quan đến $\log_6 3$ và $\log_3 5$. Ta có: \[ \log_6 5 = \frac{\log_3 5}{\log_3 6} = \frac{\log_3 5}{\log_3 (3 \times 2)} = \frac{\log_3 5}{\log_3 3 + \log_3 2} = \frac{\log_3 5}{1 + \log_3 2} \] \[ \log_6 2 = \frac{\log_3 2}{\log_3 6} = \frac{\log_3 2}{1 + \log_3 2} \] Bước 4: Thay các biểu thức đã biến đổi vào $\log_{108}135$. Ta có: \[ \log_{108}135 = \frac{3 \log_6 3 + \frac{\log_3 5}{1 + \log_3 2}}{3 \log_6 3 + 2 \frac{\log_3 2}{1 + \log_3 2}} \] Bước 5: Biến đổi biểu thức trên thành dạng $\frac{ma + nab}{2 + ka}$. Ta thấy rằng: \[ \log_{108}135 = \frac{3a + \frac{b}{1 + \log_3 2}}{3a + 2 \frac{\log_3 2}{1 + \log_3 2}} \] Bước 6: So sánh với dạng $\frac{ma + nab}{2 + ka}$ để tìm $m$, $n$, $k$. Ta nhận thấy rằng: \[ \log_{108}135 = \frac{3a + b}{3a + 2} \] Do đó, ta có: \[ m = 3, \quad n = 1, \quad k = 2 \] Bước 7: Tính $S = 4m + 3n - 2k$. Ta có: \[ S = 4 \times 3 + 3 \times 1 - 2 \times 2 = 12 + 3 - 4 = 11 \] Vậy đáp án cuối cùng là: \[ \boxed{11} \] Câu 2: Trong hình lăng trụ đều ABC.A'B'C', ta có: - Mặt đáy ABC là tam giác đều với cạnh bằng \(a\). - Đường cao \(AA'\) của lăng trụ bằng \(a\sqrt{3}\). Để tính góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \((ABC)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \((ABC)\) là góc giữa đường thẳng \(A'B\) và hình chiếu của nó lên mặt phẳng \((ABC)\). Hình chiếu của \(A'B\) lên mặt phẳng \((ABC)\) là đoạn thẳng \(AB\). 2. Tìm góc giữa \(A'B\) và \(AB\): Ta cần tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{A'B}\) và \(\overrightarrow{AB}\). 3. Tọa độ các điểm: - Điểm \(A\) có tọa độ \((0, 0, 0)\). - Điểm \(B\) có tọa độ \((a, 0, 0)\). - Điểm \(A'\) có tọa độ \((0, 0, a\sqrt{3})\). 4. Vectơ \(\overrightarrow{A'B}\): \[ \overrightarrow{A'B} = B - A' = (a, 0, 0) - (0, 0, a\sqrt{3}) = (a, 0, -a\sqrt{3}) \] 5. Vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0) \] 6. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{A'B} \cdot \overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{A'B} \cdot \overrightarrow{AB} = (a, 0, -a\sqrt{3}) \cdot (a, 0, 0) = a \cdot a + 0 \cdot 0 + (-a\sqrt{3}) \cdot 0 = a^2 \] 7. Tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{A'B}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{a^2} = a \] 8. Tính cosin của góc giữa \(\overrightarrow{A'B}\) và \(\overrightarrow{AB}\): \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{A'B} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{A'B}| \cdot |\overrightarrow{AB}|} = \frac{a^2}{2a \cdot a} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} \] 9. Tìm góc \(\theta\): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \((ABC)\) là \(60^\circ\). Câu 3: Để giải phương trình $\log_2(3x+1)=5$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Đối với phương trình $\log_2(3x+1)$, ta cần đảm bảo rằng $3x + 1 > 0$. - Điều kiện này tương đương với $x > -\frac{1}{3}$. Bước 2: Giải phương trình - Ta có $\log_2(3x+1) = 5$. Điều này có nghĩa là $3x + 1 = 2^5$. - Tính $2^5 = 32$, vậy ta có $3x + 1 = 32$. - Giải phương trình $3x + 1 = 32$: \[ 3x = 32 - 1 \\ 3x = 31 \\ x = \frac{31}{3} \\ x \approx 10.33 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định - Ta đã có điều kiện $x > -\frac{1}{3}$. Giá trị $x = 10.33$ thỏa mãn điều kiện này. Vậy nghiệm của phương trình $\log_2(3x+1)=5$ là $x \approx 10.3$ (làm tròn đến hàng phần chục). Câu 4: Lãi suất trong 1 tháng là: \[ \frac{6\%}{12} = 0,5\% \] Số tiền lãi sau tháng thứ nhất là: \[ 35 \times \frac{0,5}{100} = 0,175 \text{ triệu đồng} \] Số tiền sau tháng thứ nhất là: \[ 35 + 0,175 = 35,175 \text{ triệu đồng} \] Số tiền lãi sau tháng thứ hai là: \[ 35,175 \times \frac{0,5}{100} = 0,175875 \text{ triệu đồng} \] Số tiền sau tháng thứ hai là: \[ 35,175 + 0,175875 = 35,350875 \text{ triệu đồng} \] Số tiền lãi sau tháng thứ ba là: \[ 35,350875 \times \frac{0,5}{100} = 0,176754375 \text{ triệu đồng} \] Số tiền sau tháng thứ ba là: \[ 35,350875 + 0,176754375 = 35,527629375 \text{ triệu đồng} \] Số tiền lãi sau tháng thứ tư là: \[ 35,527629375 \times \frac{0,5}{100} = 0,177638146875 \text{ triệu đồng} \] Số tiền sau tháng thứ tư là: \[ 35,527629375 + 0,177638146875 = 35,705267521875 \text{ triệu đồng} \] Số tiền lãi sau tháng thứ năm là: \[ 35,705267521875 \times \frac{0,5}{100} = 0,178526337609375 \text{ triệu đồng} \] Số tiền sau tháng thứ năm là: \[ 35,705267521875 + 0,178526337609375 = 35,883793859484375 \text{ triệu đồng} \] Số tiền lãi sau tháng thứ sáu là: \[ 35,883793859484375 \times \frac{0,5}{100} = 0,179418969297421875 \text{ triệu đồng} \] Số tiền sau tháng thứ sáu là: \[ 35,883793859484375 + 0,179418969297421875 = 36,0632128287818 \text{ triệu đồng} \] Vậy sau 6 tháng gửi tiền, bác An rút được số tiền cả lãi lẫn gốc là khoảng 36,1 triệu đồng (làm tròn đến hàng phần chục). Đáp số: 36,1 triệu đồng. Câu 1. a) Ta có \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp CD\). Mặt khác, \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AD \perp CD\). Do đó, \(CD \perp (SAD)\). b) Xét tam giác \(SCD\) có: - \(SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(3a)^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{9a^2 + 2a^2} = \sqrt{11a^2} = a\sqrt{11}\) - \(SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(3a)^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{9a^2 + 3a^2} = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3}\) Gọi \(O\) là hình chiếu của \(S\) xuống \(CD\). Ta có: - \(SO = \sqrt{SD^2 - DO^2} = \sqrt{(a\sqrt{11})^2 - (a\sqrt{2}/2)^2} = \sqrt{11a^2 - 2a^2/4} = \sqrt{11a^2 - a^2/2} = \sqrt{22a^2/2 - a^2/2} = \sqrt{21a^2/2} = a\sqrt{21/2}\) Ta có góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc \(SCO\): Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 2. Để tìm cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ, ta sẽ sử dụng công thức \( M = \log A - \log A_0 \). Trước tiên, ta biết rằng cường độ của trận động đất ở San Francisco là 8 độ Richter, tức là: \[ M_{\text{San Francisco}} = 8 \] Theo công thức, ta có: \[ 8 = \log A_{\text{San Francisco}} - \log A_0 \] \[ \log A_{\text{San Francisco}} = 8 + \log A_0 \] Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ rung chấn mạnh gấp 4 lần so với trận động đất ở San Francisco, tức là: \[ A_{\text{Nam Mỹ}} = 4 \times A_{\text{San Francisco}} \] Áp dụng công thức cho trận động đất ở Nam Mỹ: \[ M_{\text{Nam Mỹ}} = \log A_{\text{Nam Mỹ}} - \log A_0 \] \[ M_{\text{Nam Mỹ}} = \log (4 \times A_{\text{San Francisco}}) - \log A_0 \] \[ M_{\text{Nam Mỹ}} = \log 4 + \log A_{\text{San Francisco}} - \log A_0 \] \[ M_{\text{Nam Mỹ}} = \log 4 + (8 + \log A_0) - \log A_0 \] \[ M_{\text{Nam Mỹ}} = \log 4 + 8 \] Biết rằng \(\log 4 \approx 0.602\): \[ M_{\text{Nam Mỹ}} \approx 0.602 + 8 \] \[ M_{\text{Nam Mỹ}} \approx 8.602 \] Làm tròn đến hàng phần chục, ta có: \[ M_{\text{Nam Mỹ}} \approx 8.6 \] Vậy cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là 8.6 độ Richter.