câu27 .28.2930.31 tự luận 32,33,34,35,36,37

Câu 27. Để giải phương trình $\sqrt{2x^2 + x + 3} = -x - 5$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: $2x^2 + x + 3 \geq 0$ - Biểu thức bên phải phải không âm: $-x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \leq -5$ 2. Giải phương trình: - Ta bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (\sqrt{2x^2 + x + 3})^2 = (-x - 5)^2 \] \[ 2x^2 + x + 3 = x^2 + 10x + 25 \] - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 2x^2 + x + 3 - x^2 - 10x - 25 = 0 \] \[ x^2 - 9x - 22 = 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai: - Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = 1$, $b = -9$, $c = -22$: \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{169}}{2} \] \[ x = \frac{9 \pm 13}{2} \] \[ x_1 = \frac{9 + 13}{2} = 11 \] \[ x_2 = \frac{9 - 13}{2} = -2 \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định điều kiện $x \leq -5$. Do đó, trong hai nghiệm $x = 11$ và $x = -2$, chỉ có $x = -2$ thỏa mãn điều kiện này. 5. Kiểm tra lại nghiệm: - Thay $x = -2$ vào phương trình ban đầu: \[ \sqrt{2(-2)^2 + (-2) + 3} = -(-2) - 5 \] \[ \sqrt{2 \cdot 4 - 2 + 3} = 2 - 5 \] \[ \sqrt{8 - 2 + 3} = -3 \] \[ \sqrt{9} = -3 \] \[ 3 \neq -3 \] - Như vậy, $x = -2$ không thỏa mãn phương trình ban đầu. Do đó, phương trình $\sqrt{2x^2 + x + 3} = -x - 5$ không có nghiệm. Đáp số: Phương trình không có nghiệm. Câu 28. Để giải phương trình $\sqrt{2x^2-6x+4}=x-2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có căn thức ở vế trái, do đó: \[ 2x^2 - 6x + 4 \geq 0 \] \[ x - 2 \geq 0 \] Từ điều kiện thứ hai, ta có: \[ x \geq 2 \] Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức \[ (\sqrt{2x^2-6x+4})^2 = (x-2)^2 \] \[ 2x^2 - 6x + 4 = x^2 - 4x + 4 \] Bước 3: Rút gọn phương trình \[ 2x^2 - 6x + 4 = x^2 - 4x + 4 \] \[ 2x^2 - x^2 - 6x + 4x + 4 - 4 = 0 \] \[ x^2 - 2x = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai \[ x(x - 2) = 0 \] Ta có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định - Với \( x = 0 \): \[ 0 \geq 2 \quad \text{(sai)} \] Do đó, \( x = 0 \) bị loại. - Với \( x = 2 \): \[ 2 \geq 2 \quad \text{(đúng)} \] Do đó, \( x = 2 \) thỏa mãn điều kiện. Kết luận: Nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2-6x+4}=x-2$ là \( x = 2 \). Câu 29. Để tìm giá trị của \( n \) sao cho điểm \( A(1; n) \) nằm trên đường thẳng \( d: x + 4y - 12 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Thay tọa độ của điểm \( A(1; n) \) vào phương trình đường thẳng \( d \): \[ 1 + 4n - 12 = 0 \] 2. Giải phương trình này để tìm \( n \): \[ 1 + 4n - 12 = 0 \] \[ 4n - 11 = 0 \] \[ 4n = 11 \] \[ n = \frac{11}{4} \] Vậy giá trị của \( n \) là \( \frac{11}{4} \). Đáp số: \( n = \frac{11}{4} \) Tiếp theo, ta sẽ tính \( 2a - 4b + i \) với \( a = (3; 2) \), \( b = (-3; 1) \), và \( i = (1; 0) \): 1. Tính \( 2a \): \[ 2a = 2 \cdot (3; 2) = (2 \cdot 3; 2 \cdot 2) = (6; 4) \] 2. Tính \( 4b \): \[ 4b = 4 \cdot (-3; 1) = (4 \cdot -3; 4 \cdot 1) = (-12; 4) \] 3. Tính \( -4b \): \[ -4b = -(-12; 4) = (12; -4) \] 4. Cộng các vector: \[ 2a - 4b + i = (6; 4) + (12; -4) + (1; 0) \] \[ = (6 + 12 + 1; 4 - 4 + 0) \] \[ = (19; 0) \] Vậy kết quả của \( 2a - 4b + i \) là \( (19; 0) \). Đáp số: \( (19; 0) \) Câu 30. Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng trong mặt phẳng Oxy, tọa độ của vectơ đơn vị trên trục Ox là $\vec{i} = (1, 0)$. Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán giá trị của $a$ và $u$ dựa trên thông tin đã cho. 1. Tìm tọa độ của vectơ $\vec{a}$: - Giả sử tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là $(x_a, y_a)$. - Vì $\vec{a}$ là vectơ đơn vị trên trục Ox, nên tọa độ của nó sẽ là $(1, 0)$. 2. Tìm tọa độ của vectơ $\vec{u}$: - Giả sử tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là $(x_u, y_u)$. - Vì $\vec{u}$ cũng là vectơ đơn vị trên trục Ox, nên tọa độ của nó sẽ là $(1, 0)$. Do đó, tọa độ của vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{u}$ đều là $(1, 0)$. Kết luận: - Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là $(1, 0)$. - Tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là $(1, 0)$. Câu 31. Đường chuẩn của parabol $(P):~y^2=3x$ là $x=-\frac{3}{4}$. Điểm $M(a;b)$ thuộc parabol (P) và cách đường chuẩn của (P) một khoảng bằng 4 nên $a+\frac{3}{4}=4$. Suy ra $a=\frac{13}{4}$. Thay vào phương trình parabol ta có $b^2=3\times \frac{13}{4}=\frac{39}{4}$. Vậy $S=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{169}{16}+\frac{39}{4}}=\frac{13}{4}$. Câu 32. Để xét dấu của tam thức bậc hai \( f(x) = 4x^2 + 8x + 4 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \): \[ 4x^2 + 8x + 4 = 0 \] Chia cả hai vế cho 4: \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \] Nhận thấy rằng \( x^2 + 2x + 1 \) là một hằng đẳng thức: \[ (x + 1)^2 = 0 \] Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình là: \[ x = -1 \] 2. Xác định dấu của hệ số \( a \): Hệ số \( a \) trong tam thức \( f(x) = 4x^2 + 8x + 4 \) là 4, và \( a > 0 \). 3. Lập bảng xét dấu: - Khi \( x < -1 \), \( f(x) > 0 \) vì \( (x + 1)^2 \) là bình phương của một số âm, do đó luôn dương. - Khi \( x = -1 \), \( f(x) = 0 \). - Khi \( x > -1 \), \( f(x) > 0 \) vì \( (x + 1)^2 \) là bình phương của một số dương, do đó luôn dương. Bảng xét dấu của \( f(x) \): \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, \infty) \\ \hline f(x) & + & 0 & + \\ \end{array} \] Kết luận: - \( f(x) > 0 \) khi \( x \neq -1 \) - \( f(x) = 0 \) khi \( x = -1 \) Đáp số: \( f(x) > 0 \) khi \( x \neq -1 \). Câu 33. Để xét dấu của tam thức bậc hai \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \): \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] Ta nhận thấy rằng: \[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \] Do đó: \[ (x - 1)^2 = 0 \implies x = 1 \] Vậy phương trình \( f(x) = 0 \) có nghiệm kép \( x = 1 \). 2. Xác định dấu của hệ số \( a \): Trong tam thức \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \), hệ số \( a = 1 \). Vì \( a > 0 \), parabol của tam thức này mở ra phía trên. 3. Lập bảng xét dấu: - Khi \( x < 1 \), \( (x - 1)^2 > 0 \) vì bình phương của một số âm là số dương. - Khi \( x = 1 \), \( (x - 1)^2 = 0 \). - Khi \( x > 1 \), \( (x - 1)^2 > 0 \) vì bình phương của một số dương là số dương. Bảng xét dấu của \( f(x) \): \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f(x) & + & 0 & + \\ \end{array} \] Kết luận: - \( f(x) > 0 \) khi \( x \neq 1 \) - \( f(x) = 0 \) khi \( x = 1 \) Vậy, tam thức \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \) dương khi \( x \neq 1 \) và bằng 0 khi \( x = 1 \). Câu 34. Để xác định tâm và tính bán kính của đường tròn \((C): x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình đường tròn dưới dạng tổng bình phương. Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\) lại: \[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + 1 = 0 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các nhóm \(x\) và \(y\): \[ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 4 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 \] Bước 3: So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\): Từ đây, ta nhận thấy rằng tâm của đường tròn là \((a, b) = (1, -2)\) và bán kính \(R\) là \(\sqrt{4} = 2\). Vậy tâm của đường tròn là \((1, -2)\) và bán kính là \(2\). Câu 35. Để xác định tâm và tính bán kính của đường tròn \((C): x^2 + y^2 - 8x - 6y + 21 = 0\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình đường tròn dưới dạng tổng bình phương. Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\) lại: \[ x^2 - 8x + y^2 - 6y + 21 = 0 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các nhóm \(x\) và \(y\). Nhóm \(x\): \[ x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16 \] Nhóm \(y\): \[ y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 \] Bước 3: Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 4)^2 - 16 + (y - 3)^2 - 9 + 21 = 0 \] \[ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 - 16 - 9 + 21 = 0 \] \[ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 - 4 = 0 \] \[ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 4 \] Bước 4: So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), ta nhận thấy: - Tâm của đường tròn là \(I(4, 3)\) - Bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt{4} = 2\) Vậy tâm của đường tròn là \(I(4, 3)\) và bán kính của đường tròn là \(R = 2\). Câu 36. Để xác định tâm và tính bán kính của đường tròn \((C): x^2 + y^2 - 17x + 21y - 84 = 0\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình đường tròn dưới dạng tổng bình phương. Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\) lại: \[ x^2 - 17x + y^2 + 21y = 84 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các nhóm \(x\) và \(y\). - Với \(x\): \[ x^2 - 17x = (x - \frac{17}{2})^2 - (\frac{17}{2})^2 \] \[ = (x - \frac{17}{2})^2 - \frac{289}{4} \] - Với \(y\): \[ y^2 + 21y = (y + \frac{21}{2})^2 - (\frac{21}{2})^2 \] \[ = (y + \frac{21}{2})^2 - \frac{441}{4} \] Bước 3: Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - \frac{17}{2})^2 - \frac{289}{4} + (y + \frac{21}{2})^2 - \frac{441}{4} = 84 \] Bước 4: Chuyển các hằng số về phía bên phải: \[ (x - \frac{17}{2})^2 + (y + \frac{21}{2})^2 = 84 + \frac{289}{4} + \frac{441}{4} \] \[ = 84 + \frac{730}{4} \] \[ = 84 + 182.5 \] \[ = 266.5 \] Bước 5: Viết lại phương trình dưới dạng chuẩn của đường tròn: \[ (x - \frac{17}{2})^2 + (y + \frac{21}{2})^2 = 266.5 \] Từ đây, ta thấy rằng tâm của đường tròn là \(\left( \frac{17}{2}, -\frac{21}{2} \right)\) và bán kính \(r\) là: \[ r = \sqrt{266.5} \] Vậy tâm của đường tròn là \(\left( \frac{17}{2}, -\frac{21}{2} \right)\) và bán kính là \(\sqrt{266.5}\). Câu 37. Gọi O là thành phố A, B là huyện B, C là huyện C, H là bến xe mới. Ta có hình vẽ minh họa: O là giao điểm của OB và HC, ta có OB vuông góc với OC (theo đề bài). Ta thấy tam giác OBC là tam giác vuông tại O. Theo đề bài, ta có HB = HC. Do đó, H là đỉnh của tam giác cân tại H, có đáy là BC. Trong tam giác vuông OBC, ta có: OB^2 + OC^2 = BC^2 (định lý Pythagoras) 50^2 + 100^2 = BC^2 2500 + 10000 = BC^2 12500 = BC^2 BC = 111,8 (làm tròn đến hàng phần mười) Vì H là đỉnh của tam giác cân tại H, nên đường cao hạ từ H xuống đáy BC sẽ chia đôi đáy BC. Vậy BH = HC = 111,8 : 2 = 55,9 (km) Trong tam giác vuông OHC, ta có: OH^2 + OC^2 = HC^2 (định lý Pythagoras) OH^2 + 100^2 = 55,9^2 OH^2 + 10000 = 3124,81 OH^2 = 3124,81 - 10000 OH^2 = -6875,19 OH = 82,9 (làm tròn đến hàng phần mười) Vậy H phải cách thành phố A khoảng 82,9 km.