Giúp tớ với

Để tính dung tích của thùng rượu, ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích của khối tròn xoay. Ta sẽ chia thùng rượu thành hai phần bằng nhau qua mặt phẳng (P) và tính thể tích của một nửa, sau đó nhân đôi. 1. Xác định phương trình parabol: Mặt phẳng (P) cắt đường tròn đáy theo đường kính, do đó đường thẳng này đi qua tâm của đường tròn đáy và vuông góc với trục của thùng rượu. Đường thẳng này cũng là trục đối xứng của parabol. Gọi trục của thùng rượu là trục y và tâm của đường tròn đáy là gốc tọa độ O(0,0). Đường thẳng (P) cắt đường tròn đáy tại hai điểm A(-30,0) và B(30,0). Phương trình parabol có dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \] Vì parabol đi qua điểm (0,0), ta có: \[ c = 0 \] Do đó phương trình trở thành: \[ y = ax^2 + bx \] Parabol đi qua điểm A(-30,0) và B(30,0), ta có: \[ 0 = a(-30)^2 + b(-30) \quad \text{và} \quad 0 = a(30)^2 + b(30) \] Điều này dẫn đến: \[ 900a - 30b = 0 \quad \text{và} \quad 900a + 30b = 0 \] Từ đây ta suy ra: \[ b = 0 \] Do đó phương trình parabol là: \[ y = ax^2 \] Để xác định giá trị của \(a\), ta biết rằng parabol đi qua điểm (0,100) (do chiều cao của thùng rượu là 1m = 100cm): \[ 100 = a(0)^2 \Rightarrow a = \frac{100}{900} = \frac{1}{9} \] Vậy phương trình parabol là: \[ y = \frac{1}{9}x^2 \] 2. Tính thể tích của một nửa thùng rượu: Thể tích của một nửa thùng rượu là thể tích của khối tròn xoay tạo bởi parabol \(y = \frac{1}{9}x^2\) quay quanh trục y từ x = -30 đến x = 30. Thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{-30}^{30} \left(\frac{1}{9}x^2\right)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{-30}^{30} \frac{1}{81}x^4 \, dx \] \[ V = \frac{\pi}{81} \int_{-30}^{30} x^4 \, dx \] Tích phân của \(x^4\) từ -30 đến 30 là: \[ \int_{-30}^{30} x^4 \, dx = 2 \int_{0}^{30} x^4 \, dx \] \[ \int_{0}^{30} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^{30} = \frac{30^5}{5} = \frac{24300000}{5} = 4860000 \] \[ \int_{-30}^{30} x^4 \, dx = 2 \times 4860000 = 9720000 \] Vậy thể tích của một nửa thùng rượu là: \[ V = \frac{\pi}{81} \times 9720000 = 120000\pi \, \text{cm}^3 \] 3. Tính thể tích toàn bộ thùng rượu: Thể tích toàn bộ thùng rượu là: \[ V_{\text{tổng}} = 2 \times 120000\pi = 240000\pi \, \text{cm}^3 \] 4. Chuyển đổi đơn vị sang lít: \[ 1 \, \text{lít} = 1000 \, \text{cm}^3 \] \[ V_{\text{tổng}} = \frac{240000\pi}{1000} = 240\pi \, \text{lít} \] Khoảng giá trị của \(\pi\) là 3.14, nên: \[ V_{\text{tổng}} \approx 240 \times 3.14 = 753.6 \, \text{lít} \] Vậy dung tích của thùng rượu là khoảng 754 lít.