Cho ba số nguyên dương , ,a b c thỏa mãn a + b + c = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: K = $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ K = \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} $ với điều kiện $ a + b + c = 10 $ và $ a, b, c $ là các số nguyên dương, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các giá trị có thể của $ a, b, c $:
   Vì $ a, b, c $ là các số nguyên dương và $ a + b + c = 10 $, ta có thể liệt kê các trường hợp có thể xảy ra:
   - $ a = 1, b = 1, c = 8 $
   - $ a = 1, b = 2, c = 7 $
   - $ a = 1, b = 3, c = 6 $
   - $ a = 1, b = 4, c = 5 $
   - $ a = 2, b = 2, c = 6 $
   - $ a = 2, b = 3, c = 5 $
   - $ a = 2, b = 4, c = 4 $
   - $ a = 3, b = 3, c = 4 $

2. Tính giá trị của biểu thức $ K $ trong từng trường hợp:
   - Với $ a = 1, b = 1, c = 8 $:
     $$
     K = \frac{1+1}{8} + \frac{1+8}{1} + \frac{8+1}{1} = \frac{2}{8} + 9 + 9 = \frac{1}{4} + 18 = 18.25
     $$
   - Với $ a = 1, b = 2, c = 7 $:
     $$
     K = \frac{1+2}{7} + \frac{2+7}{1} + \frac{7+1}{2} = \frac{3}{7} + 9 + 4 = \frac{3}{7} + 13 = 13.4286
     $$
   - Với $ a = 1, b = 3, c = 6 $:
     $$
     K = \frac{1+3}{6} + \frac{3+6}{1} + \frac{6+1}{3} = \frac{4}{6} + 9 + \frac{7}{3} = \frac{2}{3} + 9 + 2.3333 = 11.6667
     $$
   - Với $ a = 1, b = 4, c = 5 $:
     $$
     K = \frac{1+4}{5} + \frac{4+5}{1} + \frac{5+1}{4} = 1 + 9 + 1.5 = 11.5
     $$
   - Với $ a = 2, b = 2, c = 6 $:
     $$
     K = \frac{2+2}{6} + \frac{2+6}{2} + \frac{6+2}{2} = \frac{4}{6} + 4 + 4 = \frac{2}{3} + 8 = 8.6667
     $$
   - Với $ a = 2, b = 3, c = 5 $:
     $$
     K = \frac{2+3}{5} + \frac{3+5}{2} + \frac{5+2}{3} = 1 + 4 + 2.3333 = 7.3333
     $$
   - Với $ a = 2, b = 4, c = 4 $:
     $$
     K = \frac{2+4}{4} + \frac{4+4}{2} + \frac{4+2}{4} = 1.5 + 4 + 1.5 = 7
     $$
   - Với $ a = 3, b = 3, c = 4 $:
     $$
     K = \frac{3+3}{4} + \frac{3+4}{3} + \frac{4+3}{3} = 1.5 + 2.3333 + 2.3333 = 6.1666
     $$

3. So sánh các giá trị của $ K $:
   Các giá trị của $ K $ đã tính được là:
   - 18.25
   - 13.4286
   - 11.6667
   - 11.5
   - 8.6667
   - 7.3333
   - 7
   - 6.1666

Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là 6.1666, đạt được khi $ a = 3, b = 3, c = 4 $.

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ K = \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} $ là 6.1666, đạt được khi $ a = 3, b = 3, c = 4 $.