Cách làm chi tiết và chính xác

Câu 6. Để giải bất phương trình $\log_2(x-1) < 3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_2(x-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_2(x-1) < 3$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: \[ \log_2(x-1) < \log_2(2^3) \] - Điều này tương đương với: \[ \log_2(x-1) < \log_2(8) \] - Vì hàm lôgarit cơ số 2 là hàm đồng biến, nên ta có: \[ x-1 < 8 \] - Giải bất phương trình này: \[ x < 9 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 1$ và kết quả từ bước 2 ($x < 9$), ta có: \[ 1 < x < 9 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (1; 9) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(1;9) \] Câu 7. Phương trình của mặt phẳng (P) là $x - 3y - z + 8 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ có dạng $(a, b, c)$ sao cho phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng $ax + by + cz + d = 0$. So sánh phương trình $x - 3y - z + 8 = 0$ với dạng tổng quát $ax + by + cz + d = 0$, ta thấy rằng: - $a = 1$ - $b = -3$ - $c = -1$ Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (1, -3, -1)$. Trong các lựa chọn đã cho: - A. $\overrightarrow{n_1}(1; -3; 1)$ - B. $\overrightarrow{n_2}(1; -3; -1)$ - C. $\overrightarrow{n_3}(1; -3; 8)$ - D. $\overrightarrow{n_4}(1; 3; 8)$ Chúng ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{n_2}(1; -3; -1)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\overrightarrow{n_2}(1; -3; -1)} \] Câu 8. Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn sau đây vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta sẽ dựa vào tính chất của hình chóp S.ABCD và điều kiện đã cho. - Đáy ABCD là hình chữ nhật. - \( SA \perp (ABCD) \). Các mặt phẳng được đưa ra để kiểm tra là: A. (SAB) B. (SBC) C. (SCD) D. (SBD) Ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng: 1. Mặt phẳng (SAB): - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp AB \) và \( SA \perp AD \). - Vì \( AB \subset (ABCD) \), nên \( SA \perp AB \). - Mặt phẳng (SAB) chứa \( SA \) và \( AB \), do đó (SAB) vuông góc với (ABCD). 2. Mặt phẳng (SBC): - \( SB \) không trực tiếp vuông góc với (ABCD) vì \( B \) nằm trên (ABCD) và \( S \) không trực tiếp tạo thành đường thẳng vuông góc với (ABCD) từ \( B \). - Do đó, (SBC) không chắc chắn vuông góc với (ABCD). 3. Mặt phẳng (SCD): - \( SC \) không trực tiếp vuông góc với (ABCD) vì \( C \) nằm trên (ABCD) và \( S \) không trực tiếp tạo thành đường thẳng vuông góc với (ABCD) từ \( C \). - Do đó, (SCD) không chắc chắn vuông góc với (ABCD). 4. Mặt phẳng (SBD): - \( SD \) không trực tiếp vuông góc với (ABCD) vì \( D \) nằm trên (ABCD) và \( S \) không trực tiếp tạo thành đường thẳng vuông góc với (ABCD) từ \( D \). - Do đó, (SBD) không chắc chắn vuông góc với (ABCD). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng duy nhất mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng \( SA \) vuông góc với (ABCD), do đó (SAB) vuông góc với (ABCD). Đáp án: A. (SAB). Câu 9. Để giải phương trình $2^x = 6$, ta áp dụng phương pháp chuyển vế và sử dụng tính chất của lôgarit. Bước 1: Xác định phương trình đã cho: \[ 2^x = 6 \] Bước 2: Áp dụng lôgarit để giải phương trình: \[ x = \log_2 6 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \log_2 6 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~x = \log_2 6 \] Câu 10. Để tìm số hạng \( u_5 \) của cấp số cộng, ta cần biết công sai \( d \) của cấp số cộng. Công sai \( d \) được tính bằng cách lấy số hạng thứ hai trừ đi số hạng thứ nhất: \[ d = u_2 - u_1 = 3 - 1 = 2 \] Bây giờ, ta sử dụng công thức tổng quát của số hạng thứ \( n \) trong cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng công thức này để tìm \( u_5 \): \[ u_5 = u_1 + (5-1)d \] \[ u_5 = 1 + 4 \times 2 \] \[ u_5 = 1 + 8 \] \[ u_5 = 9 \] Vậy số hạng \( u_5 \) của cấp số cộng là 9. Đáp án đúng là: C. 9. Câu 11. Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu nào là đúng. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{BB'}$ là vectơ từ B đến B'. - $\overrightarrow{B'A'}$ là vectơ từ B' đến A'. Kết hợp các vectơ này ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'B'} + \overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{AA'}$ (không phải $\overrightarrow{AC'}$). B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{BC'}$ là vectơ từ B đến C'. - $\overrightarrow{C'D'}$ là vectơ từ C' đến D'. Kết hợp các vectơ này ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{AD'}$ (không phải $\overrightarrow{AC'}$). C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. Kết hợp các vectơ này ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ (đúng). D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ A đến D. Kết hợp các vectơ này ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD'}$ (không phải $\overrightarrow{AC'}$). Vậy phát biểu đúng là: C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$. Câu 12. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta cần quan sát đồ thị và tìm các đoạn thẳng hoặc các phần của đồ thị mà trên đó giá trị của hàm số tăng dần khi giá trị của biến độc lập tăng lên. Trên đồ thị, ta thấy: - Từ \( -\infty \) đến \( -1 \), đồ thị hàm số giảm dần. - Từ \( -1 \) đến \( 1 \), đồ thị hàm số tăng dần. - Từ \( 1 \) đến \( +\infty \), đồ thị hàm số giảm dần. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-1; 1) \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(-1;1). \] Câu 1. a) Ta có: $f(0)=2\cos 0+0=2$ $f(\frac{\pi }{2})=2\cos \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$ b) Đạo hàm của hàm số đã cho là: $f'(x)=(2\cos x+x)'=-2\sin x+1$ c) Ta có: $f'(x)=0$ $-2\sin x+1=0$ $\sin x=\frac{1}{2}$ $x=\frac{\pi }{6}\text\ hoặc\ x=\frac{5\pi }{6}$ Vì $x\in [0;\frac{\pi }{2}]$ nên $x=\frac{\pi }{6}$ d) Ta có: $f(0)=2$ $f(\frac{\pi }{6})=2\cos \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}=\sqrt{3}+\frac{\pi }{6}$ $f(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}$ Ta thấy $\sqrt{3}+\frac{\pi }{6}>2>\frac{\pi }{2}$ Vậy giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0;\frac{\pi }{2}]$ là $\sqrt{3}+\frac{\pi }{6}$ Câu 2. Đầu tiên, ta chuyển đổi đơn vị tốc độ ban đầu của ô tô từ km/h sang m/s: \[ 36 \text{ km/h} = 36 \times \frac{1000}{3600} \text{ m/s} = 10 \text{ m/s} \] Khi bắt đầu tăng tốc, vận tốc ban đầu của ô tô là 10 m/s. Ta có phương trình vận tốc: \[ v(t) = at + b \] Biết rằng sau 2 giây, ô tô bắt đầu tăng tốc, tức là tại thời điểm \( t = 0 \), vận tốc của ô tô là 10 m/s. Do đó: \[ v(0) = b = 10 \] \[ v(t) = at + 10 \] Sau 12 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, ô tô nhập làn cao tốc. Thời điểm này là \( t = 12 \). Gọi vận tốc của ô tô khi nhập làn cao tốc là \( v_{nhập} \): \[ v_{nhập} = a \cdot 12 + 10 \] Biết rằng ô tô duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, tức là tại thời điểm \( t = 24 \), vận tốc của ô tô là: \[ v(24) = a \cdot 24 + 10 \] Ta cần tìm khoảng cách mà ô tô đã đi được trong 12 giây để đảm bảo rằng tổng khoảng cách từ điểm ban đầu đến điểm nhập làn là 200 m. Ta tính khoảng cách \( s(t) \) mà ô tô đã đi được trong thời gian \( t \) bằng cách tích phân phương trình vận tốc: \[ s(t) = \int_0^t (at + 10) \, dt = \left[ \frac{a t^2}{2} + 10t \right]_0^t = \frac{a t^2}{2} + 10t \] Tại thời điểm \( t = 12 \): \[ s(12) = \frac{a \cdot 12^2}{2} + 10 \cdot 12 = 72a + 120 \] Biết rằng tổng khoảng cách từ điểm ban đầu đến điểm nhập làn là 200 m, ta có: \[ 72a + 120 = 200 \] \[ 72a = 80 \] \[ a = \frac{80}{72} = \frac{10}{9} \] Vậy phương trình vận tốc của ô tô là: \[ v(t) = \frac{10}{9} t + 10 \] Đáp số: \[ a = \frac{10}{9}, \quad b = 10 \]