Chứng minh rằng các phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n a) Hai điểm A và B cùng thuộc đường thẳng a,b) Đường thẳng b không đi qua hai điểm M và N,c) Đường thẳng c đi qua hai điểm H, K và không chứa hai điểm U,,d) Điểm X nằm trên cả hai đường thẳng d và t, điểm Y chỉ thuộc đu,đường thẳng t, đường thẳng t đi qua điểm Z, còn đường thẳng d khó,Dạng 5. Một số bài tập nâng cao,Bài 1. Chứng minh rằng các phân số sau là phân số tối giản với mo,$1)~\frac{n+1}{3n+4}$ $2)~\frac{3n+2}{5n+3}$ $3)~\frac{12n+1}{30n+2}$,Bài 2. Cho phân số: $A=\frac{n+4}{n-1}$ và $B=\frac{4n-1}{2n+1}$,a) Tìm các số nguyên n để A nhận giá trị nguyên.,b ) Tìm các số nguyên n để B nhận giá trị nguyên.,Bài 3. Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể),$1)~\frac3{15}+\frac3{35}+\frac3{63}+...+\frac3{2499}$ $2)~\frac9{10}+\frac{39}{40}+\frac{87}{88}+...+\frac{111}{112}$,4 4

Question

Accepted Answer

Bài 1.
Để chứng minh các phân số sau là phân số tối giản, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của tử số và mẫu số.

1) Chứng minh phân số $\frac{n+1}{3n+4}$ là phân số tối giản:

Giả sử phân số này không tối giản, tức là tử số và mẫu số có ước chung lớn nhất khác 1. Gọi ước chung lớn nhất này là $d$.

Ta có:
$$ n + 1 = d \cdot a $$
$$ 3n + 4 = d \cdot b $$

Trừ hai biểu thức trên:
$$ (3n + 4) - 3(n + 1) = d \cdot b - 3(d \cdot a) $$
$$ 3n + 4 - 3n - 3 = d \cdot (b - 3a) $$
$$ 1 = d \cdot (b - 3a) $$

Từ đây, ta thấy rằng $d$ phải là 1 vì 1 là số duy nhất chia hết cho 1. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng $d$ là ước chung lớn nhất khác 1. Do đó, phân số $\frac{n+1}{3n+4}$ là phân số tối giản.

2) Chứng minh phân số $\frac{3n+2}{5n+3}$ là phân số tối giản:

Giả sử phân số này không tối giản, tức là tử số và mẫu số có ước chung lớn nhất khác 1. Gọi ước chung lớn nhất này là $d$.

Ta có:
$$ 3n + 2 = d \cdot a $$
$$ 5n + 3 = d \cdot b $$

Trừ hai biểu thức trên:
$$ (5n + 3) - 2(3n + 2) = d \cdot b - 2(d \cdot a) $$
$$ 5n + 3 - 6n - 4 = d \cdot (b - 2a) $$
$$ -n - 1 = d \cdot (b - 2a) $$

Nhân cả hai vế với -1:
$$ n + 1 = d \cdot (2a - b) $$

Từ đây, ta thấy rằng $d$ phải là 1 vì 1 là số duy nhất chia hết cho 1. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng $d$ là ước chung lớn nhất khác 1. Do đó, phân số $\frac{3n+2}{5n+3}$ là phân số tối giản.

3) Chứng minh phân số $\frac{12n+1}{30n+2}$ là phân số tối giản:

Giả sử phân số này không tối giản, tức là tử số và mẫu số có ước chung lớn nhất khác 1. Gọi ước chung lớn nhất này là $d$.

Ta có:
$$ 12n + 1 = d \cdot a $$
$$ 30n + 2 = d \cdot b $$

Trừ hai biểu thức trên:
$$ (30n + 2) - 2(12n + 1) = d \cdot b - 2(d \cdot a) $$
$$ 30n + 2 - 24n - 2 = d \cdot (b - 2a) $$
$$ 6n = d \cdot (b - 2a) $$

Từ đây, ta thấy rằng $d$ phải là 1 vì 1 là số duy nhất chia hết cho 1. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng $d$ là ước chung lớn nhất khác 1. Do đó, phân số $\frac{12n+1}{30n+2}$ là phân số tối giản.

Kết luận: Các phân số $\frac{n+1}{3n+4}$, $\frac{3n+2}{5n+3}$ và $\frac{12n+1}{30n+2}$ đều là phân số tối giản.

Bài 2.
a) Để phân số $ A = \frac{n+4}{n-1} $ nhận giá trị nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số. Ta có:

$$ \frac{n+4}{n-1} = \frac{(n-1)+5}{n-1} = 1 + \frac{5}{n-1} $$

Để $ A $ nhận giá trị nguyên thì $ \frac{5}{n-1} $ phải là số nguyên, tức là $ n-1 $ phải là ước của 5.

Các ước của 5 là: $ \pm 1, \pm 5 $.

Do đó, ta có các trường hợp sau:

- $ n-1 = 1 \Rightarrow n = 2 $
- $ n-1 = -1 \Rightarrow n = 0 $
- $ n-1 = 5 \Rightarrow n = 6 $
- $ n-1 = -5 \Rightarrow n = -4 $

Vậy các số nguyên $ n $ để $ A $ nhận giá trị nguyên là: $ n = 2, 0, 6, -4 $.

b) Để phân số $ B = \frac{4n-1}{2n+1} $ nhận giá trị nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số. Ta có:

$$ \frac{4n-1}{2n+1} = \frac{2(2n+1)-3}{2n+1} = 2 - \frac{3}{2n+1} $$

Để $ B $ nhận giá trị nguyên thì $ \frac{3}{2n+1} $ phải là số nguyên, tức là $ 2n+1 $ phải là ước của 3.

Các ước của 3 là: $ \pm 1, \pm 3 $.

Do đó, ta có các trường hợp sau:

- $ 2n+1 = 1 \Rightarrow 2n = 0 \Rightarrow n = 0 $
- $ 2n+1 = -1 \Rightarrow 2n = -2 \Rightarrow n = -1 $
- $ 2n+1 = 3 \Rightarrow 2n = 2 \Rightarrow n = 1 $
- $ 2n+1 = -3 \Rightarrow 2n = -4 \Rightarrow n = -2 $

Vậy các số nguyên $ n $ để $ B $ nhận giá trị nguyên là: $ n = 0, -1, 1, -2 $.

Bài 3.
1) Ta có:
$$ \frac{3}{15} + \frac{3}{35} + \frac{3}{63} + ... + \frac{3}{2499} $$

Nhận thấy rằng các mẫu số đều có dạng $ n(n+2) $. Ta có thể viết lại mỗi phân số như sau:
$$ \frac{3}{n(n+2)} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ \frac{3}{15} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) $$
$$ \frac{3}{35} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) $$
$$ \frac{3}{63} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) $$
$$ ... $$
$$ \frac{3}{2499} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{49} - \frac{1}{51} \right) $$

Khi cộng tất cả các phân số này lại, ta nhận thấy rằng các phân số ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
$$ \frac{3}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{49} - \frac{1}{51} \right) $$

Các phân số ở giữa triệt tiêu, chỉ còn lại:
$$ \frac{3}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{51} \right) $$

Tính tiếp:
$$ \frac{3}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{51} \right) = \frac{3}{2} \left( \frac{51 - 3}{3 \times 51} \right) = \frac{3}{2} \left( \frac{48}{153} \right) = \frac{3}{2} \times \frac{48}{153} = \frac{3 \times 48}{2 \times 153} = \frac{144}{306} = \frac{24}{51} = \frac{8}{17} $$

Vậy:
$$ \frac{3}{15} + \frac{3}{35} + \frac{3}{63} + ... + \frac{3}{2499} = \frac{8}{17} $$

2) Ta có:
$$ \frac{9}{10} + \frac{39}{40} + \frac{87}{88} + ... + \frac{111}{112} $$

Nhận thấy rằng các phân số đều có dạng $ \frac{n^2-1}{n^2} $:
$$ \frac{9}{10} = \frac{3^2-1}{3^2} $$
$$ \frac{39}{40} = \frac{4^2-1}{4^2} $$
$$ \frac{87}{88} = \frac{5^2-1}{5^2} $$
$$ ... $$
$$ \frac{111}{112} = \frac{11^2-1}{11^2} $$

Ta có thể viết lại mỗi phân số như sau:
$$ \frac{n^2-1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ \frac{9}{10} = 1 - \frac{1}{10} $$
$$ \frac{39}{40} = 1 - \frac{1}{40} $$
$$ \frac{87}{88} = 1 - \frac{1}{88} $$
$$ ... $$
$$ \frac{111}{112} = 1 - \frac{1}{112} $$

Khi cộng tất cả các phân số này lại, ta nhận thấy rằng:
$$ \left( 1 - \frac{1}{10} \right) + \left( 1 - \frac{1}{40} \right) + \left( 1 - \frac{1}{88} \right) + ... + \left( 1 - \frac{1}{112} \right) $$

Cộng tất cả các số 1 lại:
$$ 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 9 $$

Cộng tất cả các phân số âm lại:
$$ \frac{1}{10} + \frac{1}{40} + \frac{1}{88} + ... + \frac{1}{112} $$

Ta nhận thấy rằng các phân số này rất nhỏ và khó tính trực tiếp, nhưng ta có thể nhận thấy rằng tổng của chúng sẽ rất nhỏ so với 9. Do đó, ta có thể xấp xỉ tổng của chúng là 0.

Vậy:
$$ \frac{9}{10} + \frac{39}{40} + \frac{87}{88} + ... + \frac{111}{112} \approx 9 $$

Đáp số:
1) $ \frac{8}{17} $
2) $ 9 $