trả lời câu hỏi trong hình

Câu 1. Để tính giá trị của hàm số \( f(x) = (x + 1)(x - 2) \) tại \( x = 3 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay \( x = 3 \) vào biểu thức của hàm số: \[ f(3) = (3 + 1)(3 - 2) \] Bước 2: Tính giá trị của từng biểu thức trong ngoặc: \[ 3 + 1 = 4 \] \[ 3 - 2 = 1 \] Bước 3: Nhân hai kết quả vừa tìm được: \[ f(3) = 4 \times 1 = 4 \] Vậy giá trị của hàm số \( f(x) \) tại \( x = 3 \) là 4. Đáp án đúng là: C. 4. Câu 2. Để xác định điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào hàm số và kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. A. $N(0;1)$: Thay $x=0$ vào hàm số: \[ y = \frac{2(0) + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \] Vậy điểm $N(0;1)$ không thuộc đồ thị vì $y \neq 1$. B. $Q(4;3)$: Thay $x=4$ vào hàm số: \[ y = \frac{2(4) + 1}{4 - 1} = \frac{8 + 1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] Vậy điểm $Q(4;3)$ thuộc đồ thị vì $y = 3$. C. $P(2;3)$: Thay $x=2$ vào hàm số: \[ y = \frac{2(2) + 1}{2 - 1} = \frac{4 + 1}{1} = \frac{5}{1} = 5 \] Vậy điểm $P(2;3)$ không thuộc đồ thị vì $y \neq 3$. D. $M(-2;-3)$: Thay $x=-2$ vào hàm số: \[ y = \frac{2(-2) + 1}{-2 - 1} = \frac{-4 + 1}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1 \] Vậy điểm $M(-2;-3)$ không thuộc đồ thị vì $y \neq -3$. Kết luận: Điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ là $Q(4;3)$. Đáp án đúng là: B. $Q(4;3)$. Câu 3. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x + 4y - 2 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0; y_0) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó: - \( a = 3 \) - \( b = 4 \) - \( c = -2 \) - \( x_0 = 1 \) - \( y_0 = 2 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] \[ d = \frac{|3 + 8 - 2|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|9|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{9}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1;2) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x + 4y - 2 = 0 \) là \( \frac{9}{5} \). Đáp án đúng là: D. \( \frac{9}{5} \). Câu 4. Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là \( y = ax^2 + bx + c \), trong đó \( a \neq 0 \). A. \( y = 2x - 3 \) - Đây là hàm số bậc nhất vì có dạng \( y = mx + n \) với \( m = 2 \) và \( n = -3 \). B. \( y = 2x^2 + 3x \) - Đây là hàm số bậc hai vì có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = 2 \), \( b = 3 \), và \( c = 0 \). C. \( y = \frac{1}{x^2} + 1 \) - Đây không phải là hàm số bậc hai vì có dạng \( y = \frac{1}{x^2} + 1 \), không thể viết dưới dạng \( y = ax^2 + bx + c \). D. \( y = \sqrt{x} + 1 \) - Đây không phải là hàm số bậc hai vì có dạng \( y = \sqrt{x} + 1 \), không thể viết dưới dạng \( y = ax^2 + bx + c \). Vậy đáp án đúng là: B. \( y = 2x^2 + 3x \). Câu 5. Để xác định tam thức $y = -2x^2 + x + 3$ mang giá trị dương khi và chỉ khi nào, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai: Ta giải phương trình $-2x^2 + x + 3 = 0$. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = -2$, $b = 1$, $c = 3$, ta có: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-2)(3)}}{2(-2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{-4} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{-4} = \frac{-1 \pm 5}{-4} \] Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-1 + 5}{-4} = \frac{4}{-4} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 5}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2} \] 2. Xác định dấu của tam thức: Tam thức $y = -2x^2 + x + 3$ có hệ số $a = -2 < 0$, nên đồ thị của nó là một parabol mở xuống. Do đó, tam thức sẽ dương giữa hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. 3. Kết luận: Tam thức $y = -2x^2 + x + 3$ mang giá trị dương khi và chỉ khi $x$ nằm trong khoảng $(x_1, x_2)$, tức là: \[ x \in (-1, \frac{3}{2}) \] Vậy đáp án đúng là: B. $\forall x \in (-1; \frac{3}{2})$. Câu 6. Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(2;0) \) và nhận \(\overrightarrow{u} = (1; -4)\) làm vectơ chỉ phương, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm trên đường thẳng: Gọi \( M'(x; y) \) là một điểm bất kỳ trên đường thẳng. 2. Tìm vectơ \(\overrightarrow{MM'}\): \[ \overrightarrow{MM'} = (x - 2; y - 0) = (x - 2; y) \] 3. Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\): \[ \overrightarrow{u} = (1; -4) \] 4. Điều kiện để \(\overrightarrow{MM'}\) song song với \(\overrightarrow{u}\): \[ \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{-4} \] 5. Biểu diễn \(x\) và \(y\) theo tham số \(t\): Ta đặt: \[ x - 2 = t \quad \text{và} \quad y = -4t \] Từ đó suy ra: \[ x = 2 + t \quad \text{và} \quad y = -4t \] 6. Viết phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = -4t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình tham số của đường thẳng là: \[ \boxed{\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = -4t \end{array} \right.} \] Vậy đáp án đúng là: A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = -4t \end{array} \right.\) Câu 7. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \sqrt{3x - 3} \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm, tức là: \[ 3x - 3 \geq 0 \] Bước 1: Giải bất phương trình \( 3x - 3 \geq 0 \). \[ 3x - 3 \geq 0 \] \[ 3x \geq 3 \] \[ x \geq 1 \] Bước 2: Kết luận tập xác định của hàm số. Tập xác định của hàm số \( y = \sqrt{3x - 3} \) là \( [1; +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( [1; +\infty) \). Câu 8. Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$, ta cần xác định vectơ chỉ phương từ phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số này, ta thấy rằng khi tham số $t$ thay đổi, tọa độ của điểm $(x, y)$ cũng thay đổi theo quy luật: - Khi $t$ tăng thêm 1 đơn vị, $x$ giảm đi 1 đơn vị (vì $x = 2 - t$). - Khi $t$ tăng thêm 1 đơn vị, $y$ tăng thêm 2 đơn vị (vì $y = 1 + 2t$). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \vec{u} = (-1, 2) \] Vậy đáp án đúng là: D. $~(-1;2).$ Câu 9. Để tìm tọa độ đỉnh của parabol \( y = 2x^2 - 4x + 1 \), ta sử dụng công thức tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \): Tọa độ đỉnh \( I \left( \frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right) \right) \). Trong đó: - \( a = 2 \) - \( b = -4 \) - \( c = 1 \) Bước 1: Tính hoành độ đỉnh \( x_I \): \[ x_I = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1 \] Bước 2: Thay \( x_I = 1 \) vào phương trình \( y = 2x^2 - 4x + 1 \) để tính tung độ đỉnh \( y_I \): \[ y_I = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \] Vậy tọa độ đỉnh của parabol là \( I(1, -1) \). Đáp án đúng là: C. \( I(1, -1) \). Câu 10. Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta cần kiểm tra các điều kiện về góc giữa chúng. 1. Tìm hệ số góc của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \(d_1: 3x - 2y - 7 = 0\) Ta viết lại phương trình dưới dạng \(y = mx + n\): \[ 3x - 2y - 7 = 0 \implies -2y = -3x + 7 \implies y = \frac{3}{2}x - \frac{7}{2} \] Vậy hệ số góc của \(d_1\) là \(m_1 = \frac{3}{2}\). - Đường thẳng \(d_2: 3x + 2y = 0\) Ta viết lại phương trình dưới dạng \(y = mx + n\): \[ 3x + 2y = 0 \implies 2y = -3x \implies y = -\frac{3}{2}x \] Vậy hệ số góc của \(d_2\) là \(m_2 = -\frac{3}{2}\). 2. Kiểm tra điều kiện vuông góc: Hai đường thẳng vuông góc nếu tích của các hệ số góc của chúng bằng \(-1\): \[ m_1 \cdot m_2 = \left(\frac{3}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{9}{4} \] Vì \(-\frac{9}{4} \neq -1\), nên hai đường thẳng không vuông góc. 3. Kiểm tra điều kiện song song: Hai đường thẳng song song nếu các hệ số góc của chúng bằng nhau: \[ m_1 = \frac{3}{2} \quad \text{và} \quad m_2 = -\frac{3}{2} \] Vì \(\frac{3}{2} \neq -\frac{3}{2}\), nên hai đường thẳng không song song. 4. Kết luận: Vì hai đường thẳng không vuông góc và không song song, nên chúng cắt nhau. Đáp án: A. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Câu 11. Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng \( ax^2 + bx + c > 0 \) (hoặc dấu lớn hơn bằng, nhỏ hơn, nhỏ hơn bằng). A. \( x^2 - 2x + 4 \geq 0 \) - Đây là một bất phương trình bậc hai vì nó có dạng \( ax^2 + bx + c \geq 0 \) với \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = 4 \). B. \( \frac{x-2}{x+1} < 0 \) - Đây là một bất phương trình phân thức, không phải là bất phương trình bậc hai. C. \( 3x - \sqrt{x} > 0 \) - Đây là một bất phương trình chứa căn thức, không phải là bất phương trình bậc hai. D. \( \frac{1}{x+1} \leq 0 \) - Đây là một bất phương trình phân thức, không phải là bất phương trình bậc hai. Vậy, trong các bất phương trình trên, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai ẩn x? Đáp án đúng là: A. \( x^2 - 2x + 4 \geq 0 \). Câu 12. Để xác định tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \((C):~(x-1)^2+(y+3)^2=16\), ta thực hiện các bước sau: 1. Nhận dạng phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn có dạng chuẩn là \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\), trong đó \((a, b)\) là tọa độ tâm và \(R\) là bán kính. 2. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình \((C):~(x-1)^2+(y+3)^2=16\) có thể được viết lại dưới dạng \((x-1)^2 + (y-(-3))^2 = 4^2\). 3. Xác định tâm và bán kính: - Tọa độ tâm \(I\) là \((a, b) = (1, -3)\). - Bán kính \(R\) là \(4\) (vì \(R^2 = 16\)). Vậy tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \((C)\) là: - Tọa độ tâm \(I\) là \((1, -3)\). - Bán kính \(R\) là \(4\).