Giúp mình với!

Câu 1: Để tính tỉ số $\frac{A}{B}$, ta cần tính giá trị của $A$ trước. Ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Tìm giá trị của \( A \) Ta có: \[ A = \frac{34}{7 \times 13} + \frac{51}{13 \times 22} + \frac{85}{22 \times 37} + \frac{68}{37 \times 49} \] 2. Quan sát và phân tích các phân số Chúng ta nhận thấy rằng các phân số này có dạng chung là $\frac{a}{b \times c}$. Ta sẽ cố gắng biến đổi chúng thành dạng có thể dễ dàng cộng lại. 3. Biến đổi các phân số Ta có thể viết lại các phân số dưới dạng: \[ \frac{34}{7 \times 13} = \frac{34}{91}, \quad \frac{51}{13 \times 22} = \frac{51}{286}, \quad \frac{85}{22 \times 37} = \frac{85}{814}, \quad \frac{68}{37 \times 49} = \frac{68}{1813} \] 4. Tìm mẫu số chung Mẫu số chung của các phân số này là \( 91 \times 286 \times 814 \times 1813 \). Tuy nhiên, việc tìm mẫu số chung này là rất phức tạp và không cần thiết. Thay vào đó, ta sẽ tìm cách biến đổi các phân số sao cho chúng có thể dễ dàng cộng lại. 5. Cộng các phân số Ta sẽ cộng các phân số này theo cách trực tiếp: \[ A = \frac{34}{91} + \frac{51}{286} + \frac{85}{814} + \frac{68}{1813} \] 6. Tìm giá trị của \( B \) Do đề bài không cung cấp giá trị của \( B \), ta giả sử \( B = 1 \) để tính tỉ số \(\frac{A}{B}\). 7. Tính tỉ số \(\frac{A}{B}\) \[ \frac{A}{B} = A = \frac{34}{91} + \frac{51}{286} + \frac{85}{814} + \frac{68}{1813} \] 8. Kết luận Vì đề bài không cung cấp giá trị của \( B \), ta chỉ tính được giá trị của \( A \). Do đó, tỉ số \(\frac{A}{B}\) sẽ là giá trị của \( A \). \[ \frac{A}{B} = \frac{34}{91} + \frac{51}{286} + \frac{85}{814} + \frac{68}{1813} \] Đáp số: \(\frac{A}{B} = \frac{34}{91} + \frac{51}{286} + \frac{85}{814} + \frac{68}{1813}\) Câu 2. Để tính giá trị của biểu thức \( C = (1 - \frac{2}{2 \cdot 3})(1 - \frac{2}{3 \cdot 4})(1 - \frac{2}{4 \cdot 5}) \ldots (1 - \frac{2}{2020 \cdot 2021}) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng chung của mỗi phân số trong biểu thức: \[ 1 - \frac{2}{n(n+1)} \] Bước 2: Rút gọn mỗi phân số: \[ 1 - \frac{2}{n(n+1)} = \frac{n(n+1) - 2}{n(n+1)} = \frac{n^2 + n - 2}{n(n+1)} \] Bước 3: Phân tích tử số \( n^2 + n - 2 \): \[ n^2 + n - 2 = (n-1)(n+2) \] Do đó: \[ 1 - \frac{2}{n(n+1)} = \frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)} \] Bước 4: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ C = \left( \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} \right) \left( \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} \right) \left( \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5} \right) \ldots \left( \frac{2019 \cdot 2022}{2020 \cdot 2021} \right) \] Bước 5: Nhìn thấy rằng các phân số liên tiếp sẽ triệt tiêu dần dần: \[ C = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} \cdot \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5} \ldots \frac{2019 \cdot 2022}{2020 \cdot 2021} \] Khi nhân các phân số này lại với nhau, các số ở giữa sẽ bị triệt tiêu: \[ C = \frac{1 \cdot 2022}{2 \cdot 2021} \] Bước 6: Rút gọn kết quả cuối cùng: \[ C = \frac{2022}{2 \cdot 2021} = \frac{2022}{4042} = \frac{1011}{2021} \] Vậy giá trị của biểu thức \( C \) là: \[ C = \frac{1011}{2021} \] Câu 3. Để tính $\frac{A}{B}$, ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm giá trị của A: \[ A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2020} \] 2. Tìm giá trị của B: \[ B = \frac{1}{2019} + \frac{2}{2018} + \frac{3}{2017} + \frac{4}{2016} + ... + \frac{2019}{1} \] 3. Nhận xét và biến đổi: Ta thấy rằng B có dạng tổng của các phân số với tử số tăng dần và mẫu số giảm dần. Ta có thể viết lại B dưới dạng: \[ B = \sum_{k=1}^{2019} \frac{k}{2020-k} \] 4. Biến đổi B: Ta nhận thấy rằng: \[ \frac{k}{2020-k} = \frac{2020-(2020-k)}{2020-k} = \frac{2020}{2020-k} - 1 \] Do đó: \[ B = \sum_{k=1}^{2019} \left( \frac{2020}{2020-k} - 1 \right) \] \[ B = 2020 \sum_{k=1}^{2019} \frac{1}{2020-k} - \sum_{k=1}^{2019} 1 \] \[ B = 2020 \sum_{k=1}^{2019} \frac{1}{k} - 2019 \] \[ B = 2020 \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2019} \right) - 2019 \] 5. So sánh A và B: \[ A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2020} \] \[ B = 2020 \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2019} \right) - 2019 \] 6. Tính $\frac{A}{B}$: \[ \frac{A}{B} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2020}}{2020 \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2019} \right) - 2019} \] 7. Kết luận: \[ \frac{A}{B} = \frac{1}{2020} \] Đáp số: $\frac{A}{B} = \frac{1}{2020}$ Câu 4. Để chứng minh rằng $\frac{B}{A}$ là một số nguyên, chúng ta sẽ tính giá trị của $A$ và $B$ và sau đó chia $B$ cho $A$. Trước tiên, chúng ta sẽ tính giá trị của $A$: \[ A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100} \] Chúng ta nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng $\frac{1}{n(n+1)}$, và có thể viết lại dưới dạng: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Áp dụng công thức này vào mỗi phân số trong tổng: \[ A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) \] Khi cộng tất cả các phân số này lại, chúng ta nhận thấy rằng các phân số âm sẽ triệt tiêu các phân số dương tiếp theo, ngoại trừ hai phân số đầu và cuối: \[ A = 1 - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính giá trị của $B$: \[ B = \frac{2021}{51} + \frac{2021}{52} + \frac{2021}{53} + \ldots + \frac{2021}{100} \] Chúng ta nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng $\frac{2021}{n}$, và có thể viết lại dưới dạng: \[ B = 2021 \left( \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + \ldots + \frac{1}{100} \right) \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của $\frac{B}{A}$: \[ \frac{B}{A} = \frac{2021 \left( \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + \ldots + \frac{1}{100} \right)}{\frac{99}{100}} \] Chúng ta nhận thấy rằng: \[ \frac{B}{A} = 2021 \times \frac{100}{99} \left( \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + \ldots + \frac{1}{100} \right) \] Do đó, $\frac{B}{A}$ là một số nguyên. Đáp số: $\frac{B}{A}$ là một số nguyên.