giải toán lớp 11 trắc nghiệm

Câu 43. Để xác định xem mỗi dãy số có phải là cấp số nhân hay không, ta kiểm tra tỷ số giữa hai số liên tiếp trong dãy có bằng nhau hay không. A. Dãy số: $2, 4, 8, 16, ...$ Tỷ số giữa hai số liên tiếp: $\frac{4}{2} = 2$, $\frac{8}{4} = 2$, $\frac{16}{8} = 2$. Tỷ số giữa hai số liên tiếp đều bằng 2, nên đây là cấp số nhân. B. Dãy số: $1, -1, 1, -1, ...$ Tỷ số giữa hai số liên tiếp: $\frac{-1}{1} = -1$, $\frac{1}{-1} = -1$, $\frac{-1}{1} = -1$. Tỷ số giữa hai số liên tiếp đều bằng -1, nên đây là cấp số nhân. C. Dãy số: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ Tỷ số giữa hai số liên tiếp: $\frac{2^2}{1^2} = \frac{4}{1} = 4$, $\frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2.25$, $\frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9} \approx 1.78$. Tỷ số giữa hai số liên tiếp không bằng nhau, nên đây không phải là cấp số nhân. D. Dãy số: $a, a^3, a^5, a^7, ... (a \neq 0)$ Tỷ số giữa hai số liên tiếp: $\frac{a^3}{a} = a^2$, $\frac{a^5}{a^3} = a^2$, $\frac{a^7}{a^5} = a^2$. Tỷ số giữa hai số liên tiếp đều bằng $a^2$, nên đây là cấp số nhân. Kết luận: Dãy số không phải là cấp số nhân là dãy số C. $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ Đáp án: C. Câu 44. Để xác định dãy số nào không phải là cấp số nhân, ta cần kiểm tra tỷ số giữa hai số liên tiếp trong mỗi dãy số. A. Dãy số: $1, 2, 4, 8, ...$ Tỷ số giữa hai số liên tiếp: - $\frac{2}{1} = 2$ - $\frac{4}{2} = 2$ - $\frac{8}{4} = 2$ Tỷ số chung là 2, nên dãy số này là cấp số nhân. B. Dãy số: $3, 3^2, 3^3, 3^4, ...$ Tỷ số giữa hai số liên tiếp: - $\frac{3^2}{3} = 3$ - $\frac{3^3}{3^2} = 3$ - $\frac{3^4}{3^3} = 3$ Tỷ số chung là 3, nên dãy số này là cấp số nhân. C. Dãy số: $4, 2, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, ...$ Tỷ số giữa hai số liên tiếp: - $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ - $\frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ - $\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ Tỷ số chung là $\frac{1}{2}$, nên dãy số này là cấp số nhân. D. Dãy số: $\frac{1}{\pi}, \frac{1}{\pi^2}, \frac{1}{\pi^4}, \frac{1}{\pi^6}, ...$ Tỷ số giữa hai số liên tiếp: - $\frac{\frac{1}{\pi^2}}{\frac{1}{\pi}} = \frac{1}{\pi}$ - $\frac{\frac{1}{\pi^4}}{\frac{1}{\pi^2}} = \frac{1}{\pi^2}$ - $\frac{\frac{1}{\pi^6}}{\frac{1}{\pi^4}} = \frac{1}{\pi^2}$ Tỷ số giữa hai số liên tiếp không giống nhau, vì $\frac{1}{\pi}$ khác $\frac{1}{\pi^2}$. Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân. Kết luận: Dãy số không phải là cấp số nhân là dãy số D. Câu 45. Để ba số $-4; x; -9$ lập thành một cấp số nhân, ta cần có: \[ x^2 = (-4) \times (-9) \] \[ x^2 = 36 \] Từ đây, ta có hai trường hợp: 1. \( x = 6 \) 2. \( x = -6 \) Ta kiểm tra lại: - Nếu \( x = 6 \): \[ -4, 6, -9 \] Kiểm tra: \( 6^2 = 36 \) và \( (-4) \times (-9) = 36 \). Đúng! - Nếu \( x = -6 \): \[ -4, -6, -9 \] Kiểm tra: \( (-6)^2 = 36 \) và \( (-4) \times (-9) = 36 \). Đúng! Như vậy, cả hai giá trị \( x = 6 \) và \( x = -6 \) đều thỏa mãn điều kiện để ba số lập thành một cấp số nhân. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chỉ có \( x = 6 \) là đúng. Đáp án: C. \( x = 6 \) Câu 46. Trước tiên, ta biết rằng trong một cấp số nhân, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với công bội \( q \). Ta có thể viết số hạng thứ sáu theo công thức của cấp số nhân: \[ a_6 = a_1 \cdot q^{5} \] Trong đó: - \( a_6 \) là số hạng thứ sáu, - \( a_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( q \) là công bội. Theo đề bài, số hạng đầu tiên \( a_1 = 2 \) và số hạng thứ sáu \( a_6 = 486 \). Thay vào công thức trên, ta có: \[ 486 = 2 \cdot q^5 \] Chia cả hai vế cho 2 để tìm \( q^5 \): \[ q^5 = \frac{486}{2} = 243 \] Bây giờ, ta cần tìm \( q \) sao cho \( q^5 = 243 \). Ta nhận thấy rằng: \[ 243 = 3^5 \] Do đó: \[ q^5 = 3^5 \] Suy ra: \[ q = 3 \] Vậy công bội \( q \) của cấp số nhân là 3. Đáp án đúng là: A. \( q = 3 \). Câu 47. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định công bội \( q \) của cấp số nhân. 2. Tìm các số hạng tiếp theo của cấp số nhân. 3. Tính tổng \( S_6 \) và \( S_5 \) của cấp số nhân. 4. Kiểm tra các mệnh đề để xác định mệnh đề đúng. Bước 1: Xác định công bội \( q \) - Ta biết rằng \( u_1 = 2 \) và \( u_2 = -8 \). - Công bội \( q \) của cấp số nhân được tính bằng cách chia số hạng thứ hai cho số hạng đầu tiên: \[ q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-8}{2} = -4 \] Bước 2: Tìm các số hạng tiếp theo của cấp số nhân - Số hạng thứ ba \( u_3 \): \[ u_3 = u_2 \cdot q = (-8) \cdot (-4) = 32 \] - Số hạng thứ tư \( u_4 \): \[ u_4 = u_3 \cdot q = 32 \cdot (-4) = -128 \] - Số hạng thứ năm \( u_5 \): \[ u_5 = u_4 \cdot q = (-128) \cdot (-4) = 512 \] Bước 3: Tính tổng \( S_6 \) và \( S_5 \) của cấp số nhân - Tổng \( S_6 \) của 6 số hạng đầu tiên: \[ S_6 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 \] \[ u_6 = u_5 \cdot q = 512 \cdot (-4) = -2048 \] \[ S_6 = 2 + (-8) + 32 + (-128) + 512 + (-2048) = 2 - 8 + 32 - 128 + 512 - 2048 = -1632 \] - Tổng \( S_5 \) của 5 số hạng đầu tiên: \[ S_5 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 \] \[ S_5 = 2 + (-8) + 32 + (-128) + 512 = 2 - 8 + 32 - 128 + 512 = 410 \] Bước 4: Kiểm tra các mệnh đề - Mệnh đề A: \( S_6 = 130 \). Sai vì \( S_6 = -1632 \). - Mệnh đề B: \( u_5 = 256 \). Sai vì \( u_5 = 512 \). - Mệnh đề C: \( S_5 = 256 \). Sai vì \( S_5 = 410 \). - Mệnh đề D: \( q = -4 \). Đúng vì \( q = -4 \). Vậy mệnh đề đúng là: D. \( q = -4 \). Câu 48. Để xác định số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 3$ và $q = -2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số nhân: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Bước 2: Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ u_n = 3 \cdot (-2)^{n-1} \] Bước 3: Đặt $u_n = 192$ và giải phương trình: \[ 3 \cdot (-2)^{n-1} = 192 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho 3 để đơn giản hóa: \[ (-2)^{n-1} = \frac{192}{3} \] \[ (-2)^{n-1} = 64 \] Bước 5: Nhận thấy rằng 64 là lũy thừa của 2: \[ 64 = 2^6 \] Bước 6: So sánh với (-2)^(n-1): \[ (-2)^{n-1} = 2^6 \] Bước 7: Để (-2)^(n-1) bằng 2^6, n-1 phải là số chẵn vì (-2)^(số chẵn) = 2^(số đó). Do đó: \[ n-1 = 6 \] \[ n = 7 \] Vậy số 192 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân đã cho. Đáp án đúng là: C. Số hạng thứ 7. Câu 49. Để tìm công bội \( q \) của cấp số nhân \((u_n)\) với \( u_2 = -6 \) và \( u_6 = -486 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định công thức chung của cấp số nhân. Cấp số nhân có dạng \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \). Bước 2: Áp dụng công thức chung vào các điều kiện đã cho. Ta có: \[ u_2 = u_1 \cdot q^{2-1} = u_1 \cdot q = -6 \] \[ u_6 = u_1 \cdot q^{6-1} = u_1 \cdot q^5 = -486 \] Bước 3: Tính tỉ số giữa \( u_6 \) và \( u_2 \). \[ \frac{u_6}{u_2} = \frac{u_1 \cdot q^5}{u_1 \cdot q} = q^4 \] \[ \frac{-486}{-6} = 81 \] \[ q^4 = 81 \] Bước 4: Giải phương trình \( q^4 = 81 \). \[ q^4 = 81 \Rightarrow q = \pm 3 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện \( u_3 > 0 \). \[ u_3 = u_1 \cdot q^2 \] Do \( u_2 = u_1 \cdot q = -6 \), ta có \( u_1 = \frac{-6}{q} \). Nếu \( q = 3 \): \[ u_1 = \frac{-6}{3} = -2 \] \[ u_3 = -2 \cdot 3^2 = -2 \cdot 9 = -18 \] (không thỏa mãn \( u_3 > 0 \)) Nếu \( q = -3 \): \[ u_1 = \frac{-6}{-3} = 2 \] \[ u_3 = 2 \cdot (-3)^2 = 2 \cdot 9 = 18 \] (thỏa mãn \( u_3 > 0 \)) Vậy công bội \( q \) của cấp số nhân là \( q = -3 \). Đáp án đúng là: A. \( q = -3 \). Câu 50. Ta có: $u_2=u_1\times q=\frac{1}{4}$ (1) $u_5=u_1\times q^4=16$ (2) Lấy (2) chia cho (1) ta được: $\frac{u_1\times q^4}{u_1\times q}=16:\frac{1}{4}$ $q^3=64$ $q=4$ Thay vào (1) ta được: $u_1\times 4=\frac{1}{4}$ $u_1=\frac{1}{16}$ Vậy $q=4, u_1=\frac{1}{16}$. Chọn đáp án D Câu 51. Để tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu là $\frac{1}{2}$, số hạng thứ tư là 32 và số hạng cuối là 2048, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định công bội của cấp số nhân. - Số hạng đầu tiên là $a_1 = \frac{1}{2}$. - Số hạng thứ tư là $a_4 = 32$. - Công bội của cấp số nhân là $q$. Ta có: \[ a_4 = a_1 \cdot q^3 \] \[ 32 = \frac{1}{2} \cdot q^3 \] \[ q^3 = 32 \times 2 \] \[ q^3 = 64 \] \[ q = 4 \] Bước 2: Xác định số hạng cuối cùng và số lượng các số hạng trong dãy. - Số hạng cuối cùng là $a_n = 2048$. - Ta có: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \] \[ 2048 = \frac{1}{2} \cdot 4^{n-1} \] \[ 2048 = \frac{1}{2} \cdot 4^{n-1} \] \[ 4096 = 4^{n-1} \] \[ 4^{6} = 4^{n-1} \] \[ n - 1 = 6 \] \[ n = 7 \] Bước 3: Tính tổng của các số hạng trong cấp số nhân. - Công thức tính tổng của $n$ số hạng trong cấp số nhân là: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Áp dụng vào bài toán: \[ S_7 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4^7 - 1}{4 - 1} \] \[ S_7 = \frac{1}{2} \cdot \frac{16384 - 1}{3} \] \[ S_7 = \frac{1}{2} \cdot \frac{16383}{3} \] \[ S_7 = \frac{1}{2} \cdot 5461 \] \[ S_7 = \frac{5461}{2} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{5461}{2}$. Câu 52. Để tính giới hạn \( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{n^3 + 3} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức: Ta thấy rằng khi \( n \) tiến đến vô cùng, cả tử số và mẫu số đều tăng lên nhưng tốc độ tăng của mẫu số nhanh hơn nhiều so với tử số. Do đó, ta sẽ chia cả tử số và mẫu số cho \( n^3 \). 2. Chia cả tử số và mẫu số cho \( n^3 \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n-1}{n^3}}{\frac{n^3 + 3}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^3} - \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{3}{n^3}} \] 3. Rút gọn biểu thức: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{3}{n^3}} \] 4. Tính giới hạn từng phần: - Khi \( n \to \infty \), ta có \( \frac{1}{n^2} \to 0 \) và \( \frac{1}{n^3} \to 0 \). - Do đó, \( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3} \to 0 \). - Đồng thời, \( 1 + \frac{3}{n^3} \to 1 \). 5. Kết luận: \[ L = \frac{0}{1} = 0 \] Vậy đáp án đúng là: B. \( L = 0 \). Câu 53. Để tính giới hạn của $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n + 3}$, ta làm như sau: 1. Xét biểu thức $\frac{1}{5n + 3}$ khi $n$ tiến đến vô cùng: - Khi $n$ tiến đến vô cùng, $5n$ cũng tiến đến vô cùng. - Do đó, $5n + 3$ cũng tiến đến vô cùng. 2. Ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ \frac{1}{5n + 3} = \frac{1}{n \left(5 + \frac{3}{n}\right)} \] 3. Khi $n$ tiến đến vô cùng, $\frac{3}{n}$ tiến đến 0. Vậy: \[ \frac{1}{n \left(5 + \frac{3}{n}\right)} \approx \frac{1}{n \cdot 5} = \frac{1}{5n} \] 4. Khi $n$ tiến đến vô cùng, $\frac{1}{5n}$ tiến đến 0. Do đó, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n + 3} = 0$. Vậy đáp án đúng là: A. 0. Câu 54. Để tính giới hạn của $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n + 7}$, ta làm như sau: 1. Xét biểu thức $\frac{1}{2n + 7}$ khi $n$ tiến đến vô cùng ($n \to \infty$). 2. Khi $n$ tiến đến vô cùng, $2n$ cũng tiến đến vô cùng, do đó $2n + 7$ cũng tiến đến vô cùng. 3. Do đó, $\frac{1}{2n + 7}$ sẽ tiến đến 0 vì mẫu số tiến đến vô cùng. Vậy $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n + 7} = 0$. Đáp án đúng là: D. 0.