hhhggvcfhvvvv

Câu 1. Để tính $\int^1_0{f(x)dx}$, ta sẽ sử dụng thông tin đã cho là $\int^1_0[2f(x)-1]dx=3$. Bước 1: Ta mở ngoặc trong tích phân: \[ \int^1_0[2f(x)-1]dx = \int^1_0 2f(x) dx - \int^1_0 1 dx \] Bước 2: Ta biết rằng $\int^1_0 1 dx = [x]^1_0 = 1 - 0 = 1$. Do đó: \[ \int^1_0[2f(x)-1]dx = \int^1_0 2f(x) dx - 1 \] Bước 3: Thay vào giá trị đã cho: \[ 3 = \int^1_0 2f(x) dx - 1 \] Bước 4: Giải phương trình để tìm $\int^1_0 2f(x) dx$: \[ \int^1_0 2f(x) dx = 3 + 1 = 4 \] Bước 5: Ta chia cả hai vế cho 2 để tìm $\int^1_0 f(x) dx$: \[ \int^1_0 f(x) dx = \frac{4}{2} = 2 \] Vậy, $\int^1_0 f(x) dx = 2$. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về hàm số \( f(x) \). Tuy nhiên, dựa vào yêu cầu của đề bài, chúng ta sẽ giả sử rằng hàm số \( f(x) \) liên tục trên đoạn [0;5) và cần tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên đoạn này. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Hàm số \( f(x) \) liên tục trên đoạn [0;5). Bước 2: Tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số - Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \( f(x) \), chúng ta cần tính đạo hàm \( f'(x) \) và giải phương trình \( f'(x) = 0 \). Bước 3: Kiểm tra các điểm biên - Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn [0;5): - \( f(0) \) - \( \lim_{x \to 5^-} f(x) \) Bước 4: So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN - So sánh các giá trị cực đại, cực tiểu và các giá trị tại các điểm biên để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;5). Ví dụ cụ thể: Giả sử hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). Bước 1: Xác định ĐKXĐ - Hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) liên tục trên đoạn [0;5). Bước 2: Tìm đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0 - \( f'(x) = 3x^2 - 6x \) - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Bước 3: Kiểm tra các điểm biên - \( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 \) - \( f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \) - \( \lim_{x \to 5^-} f(x) = 5^3 - 3 \cdot 5^2 + 2 = 125 - 75 + 2 = 52 \) Bước 4: So sánh các giá trị - Các giá trị cần so sánh: \( f(0) = 2 \), \( f(2) = -2 \), \( \lim_{x \to 5^-} f(x) = 52 \). Từ đó, ta có: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 52, đạt được khi \( x \to 5^- \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 52, đạt được khi \( x \to 5^- \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 3. Để tính $\int^1_{-1}{f(x)dx}$, ta sẽ chia tích phân thành hai phần dựa vào đồ thị của hàm số $f(x)$. Từ đồ thị, ta thấy: - Từ $x = -1$ đến $x = 0$, hàm số $f(x)$ là một đường thẳng đi qua điểm $(-1, 0)$ và $(0, 1)$. - Từ $x = 0$ đến $x = 1$, hàm số $f(x)$ là một đường thẳng đi qua điểm $(0, 1)$ và $(1, 0)$. Ta sẽ tính từng phần tích phân này. Bước 1: Tính $\int^0_{-1}{f(x)dx}$ Hàm số $f(x)$ từ $x = -1$ đến $x = 0$ là đường thẳng đi qua hai điểm $(-1, 0)$ và $(0, 1)$. Phương trình của đường thẳng này là: \[ f(x) = x + 1 \] Do đó: \[ \int^0_{-1}{(x + 1)dx} = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]^0_{-1} = \left( \frac{0^2}{2} + 0 \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} + (-1) \right) = 0 - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = 0 - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \] Bước 2: Tính $\int^1_{0}{f(x)dx}$ Hàm số $f(x)$ từ $x = 0$ đến $x = 1$ là đường thẳng đi qua hai điểm $(0, 1)$ và $(1, 0)$. Phương trình của đường thẳng này là: \[ f(x) = -x + 1 \] Do đó: \[ \int^1_{0}{(-x + 1)dx} = \left[ -\frac{x^2}{2} + x \right]^1_{0} = \left( -\frac{1^2}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{0^2}{2} + 0 \right) = \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) - 0 = \frac{1}{2} \] Bước 3: Cộng các kết quả lại \[ \int^1_{-1}{f(x)dx} = \int^0_{-1}{f(x)dx} + \int^1_{0}{f(x)dx} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] Vậy, $\int^1_{-1}{f(x)dx} = 1$. Câu 4. Để tính giá trị của \( f(4) - f(1) \), trước tiên chúng ta cần tìm \( f(x) \) từ đạo hàm đã cho \( f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{x} \). Bước 1: Tìm \( f(x) \) bằng cách tích phân đạo hàm \( f'(x) \). \[ f(x) = \int \frac{\sqrt{x} - 1}{x} \, dx \] Chúng ta tách biểu thức trong tích phân thành hai phần: \[ f(x) = \int \left( \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{1}{x} \right) \, dx \] \[ f(x) = \int \left( \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} \right) \, dx \] Tích phân từng phần: \[ f(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx \] \[ f(x) = \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int x^{-1} \, dx \] Áp dụng công thức tích phân cơ bản: \[ f(x) = 2\sqrt{x} - \ln|x| + C \] Vì \( x > 0 \), ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối: \[ f(x) = 2\sqrt{x} - \ln(x) + C \] Bước 2: Tính \( f(4) \) và \( f(1) \): \[ f(4) = 2\sqrt{4} - \ln(4) + C = 2 \cdot 2 - \ln(4) + C = 4 - \ln(4) + C \] \[ f(1) = 2\sqrt{1} - \ln(1) + C = 2 \cdot 1 - \ln(1) + C = 2 - 0 + C = 2 + C \] Bước 3: Tính \( f(4) - f(1) \): \[ f(4) - f(1) = (4 - \ln(4) + C) - (2 + C) \] \[ f(4) - f(1) = 4 - \ln(4) + C - 2 - C \] \[ f(4) - f(1) = 4 - 2 - \ln(4) \] \[ f(4) - f(1) = 2 - \ln(4) \] Vậy giá trị của \( f(4) - f(1) \) là: \[ \boxed{2 - \ln(4)} \] Câu 5. Để tìm $f(4)$, ta cần biết phương trình của hàm số $f(x)$. Ta biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại mỗi điểm $(x; f(x))$ có hệ số góc là $2x - 3$. Điều này có nghĩa là đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f'(x) = 2x - 3$. Bây giờ, ta sẽ tìm hàm số $f(x)$ bằng cách tích phân đạo hàm $f'(x)$: \[ f(x) = \int (2x - 3) \, dx \] Tích phân từng thành phần: \[ f(x) = \int 2x \, dx - \int 3 \, dx \] \[ f(x) = 2 \int x \, dx - 3 \int 1 \, dx \] \[ f(x) = 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) - 3x + C \] \[ f(x) = x^2 - 3x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số tích phân. Để xác định giá trị của $C$, ta sử dụng thông tin rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm $(0; 2)$. Thay $x = 0$ và $y = 2$ vào phương trình $f(x)$: \[ f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 + C = 2 \] \[ C = 2 \] Vậy phương trình của hàm số là: \[ f(x) = x^2 - 3x + 2 \] Cuối cùng, để tìm $f(4)$, ta thay $x = 4$ vào phương trình: \[ f(4) = 4^2 - 3 \cdot 4 + 2 \] \[ f(4) = 16 - 12 + 2 \] \[ f(4) = 6 \] Đáp số: $f(4) = 6$. Câu 6. a) Ta có: \[ \int_{1}^{3} \frac{x + 2}{x} \, dx = \int_{1}^{3} \left(1 + \frac{2}{x}\right) \, dx = \left[x + 2 \ln |x|\right]_{1}^{3} = (3 + 2 \ln 3) - (1 + 2 \ln 1) = 2 + 2 \ln 3 \] Do đó, \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 3\). Vậy \(S = a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7\). b) Ta có: \[ \int_{x^2 + 2}^{x^{2x} - 4} dx = (x^{2x} - 4) - (x^2 + 2) = x^{2x} - x^2 - 6 \] Do đó, \(a = 1\), \(b = 6\). Vậy \(a \cdot b = 1 \cdot 6 = 6\). c) Ta có: \[ \int_{1}^{2} \frac{e^c}{2^c} \, dx = \left[\frac{e^c}{2^c} x\right]_{1}^{2} = \frac{e^c}{2^c} (2 - 1) = \frac{e^c}{2^c} \] Do đó, \(a = 1\), \(b = 0\). Vậy \(a \cdot b = 1 \cdot 0 = 0\). d) Ta có: \[ \int_{1}^{1} \frac{e^{2x-3} - e^{-3x} + 1}{e^2} \, dx = 0 \] Do đó, \(a = 0\), \(b = 0\), \(c = 0\). Vậy \(S = 2a + b - c = 2 \cdot 0 + 0 - 0 = 0\). e) Ta có: \[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (2 \sin x + 3 \cos x + x) \, dx = \left[-2 \cos x + 3 \sin x + \frac{x^2}{2}\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \] \[ = \left(-2 \cos \frac{\pi}{2} + 3 \sin \frac{\pi}{2} + \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}{2}\right) - \left(-2 \cos \frac{\pi}{3} + 3 \sin \frac{\pi}{3} + \frac{\left(\frac{\pi}{3}\right)^2}{2}\right) \] \[ = \left(0 + 3 + \frac{\pi^2}{8}\right) - \left(-2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi^2}{18}\right) \] \[ = 3 + \frac{\pi^2}{8} - \left(-1 + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi^2}{18}\right) \] \[ = 3 + \frac{\pi^2}{8} + 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{18} \] \[ = 4 - \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{9\pi^2 - 4\pi^2}{72} = 4 - \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi^2}{72} \] Do đó, \(a = 4\), \(b = -3\), \(c = 5\). Vậy \(S = a + b + c = 4 - 3 + 5 = 6\). f) Ta có: \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \tan^2 x \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (\sec^2 x - 1) \, dx = \left[\tan x - x\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \] \[ = \left(\tan \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) - \left(\tan \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) \] \[ = \left(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}\right) - \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) \] \[ = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} - 1 + \frac{\pi}{4} = \sqrt{3} - 1 + \frac{\pi}{12} \] Do đó, \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = 12\). Vậy \(S = a - 3b + 2c = 1 - 3(-1) + 2 \cdot 12 = 1 + 3 + 24 = 28\). g) Ta có: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \frac{x}{4} \cos^2 \frac{x}{4} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}\right)^2 \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \frac{x}{2} \, dx \] \[ = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos x}{2} \, dx = \frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) \, dx \] \[ = \frac{1}{8} \left[x - \sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8} \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8} \] Do đó, \(a = -1\), \(b = 8\), \(c = 16\). Vậy \(T = a + b + c = -1 + 8 + 16 = 23\). h) Ta có: \[ \int_{1}^{4} \sqrt{\frac{1}{4x} + \frac{\sqrt{x} + e^e}{\sqrt{x} e^{2x}}} \, dx = \int_{1}^{4} \sqrt{\frac{1}{4x} + \frac{1}{e^{2x}} + \frac{1}{e^x}} \, dx \] \[ = \int_{1}^{4} \sqrt{\frac{1}{4x} + \frac{1}{e^{2x}} + \frac{1}{e^x}} \, dx \] Do đó, \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = 0\). Vậy \(abc = 1 \cdot 0 \cdot 0 = 0\). Đáp số: a) \(S = 7\) b) \(a \cdot b = 6\) c) \(a \cdot b = 0\) d) \(S = 0\) e) \(S = 6\) f) \(S = 28\) g) \(T = 23\) h) \(abc = 0\) Câu 7. Để tính $\int^2_{-1}f(x)dx$, ta chia tích phân thành hai phần dựa trên miền xác định của hàm số $f(x)$: \[ \int^2_{-1} f(x) \, dx = \int^1_{-1} x^2 \, dx + \int^2_1 \frac{1}{x} \, dx. \] Tính từng phần tích phân: 1. Tính $\int^1_{-1} x^2 \, dx$: \[ \int^1_{-1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_{-1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. \] 2. Tính $\int^2_1 \frac{1}{x} \, dx$: \[ \int^2_1 \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln |x| \right]^2_1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2. \] Vậy: \[ \int^2_{-1} f(x) \, dx = \frac{2}{3} + \ln 2. \] Tiếp theo, để tính $\int^{\frac{\pi}{3}}_0 [3\cos x + 2f(x)] \, dx$, ta chia tích phân thành hai phần tương tự: \[ \int^{\frac{\pi}{3}}_0 [3\cos x + 2f(x)] \, dx = \int^{\frac{\pi}{3}}_0 3\cos x \, dx + \int^{\frac{\pi}{3}}_0 2f(x) \, dx. \] Tính từng phần tích phân: 1. Tính $\int^{\frac{\pi}{3}}_0 3\cos x \, dx$: \[ \int^{\frac{\pi}{3}}_0 3\cos x \, dx = 3 \left[ \sin x \right]^{\frac{\pi}{3}}_0 = 3 \left( \sin \frac{\pi}{3} - \sin 0 \right) = 3 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}. \] 2. Tính $\int^{\frac{\pi}{3}}_0 2f(x) \, dx$. Ta biết rằng $f(x) = x^2$ khi $x \leq 1$ và $f(x) = \frac{1}{x}$ khi $x > 1$. Vì $\frac{\pi}{3} < 1$, nên trong khoảng từ $0$ đến $\frac{\pi}{3}$, ta có $f(x) = x^2$: \[ \int^{\frac{\pi}{3}}_0 2f(x) \, dx = 2 \int^{\frac{\pi}{3}}_0 x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^{\frac{\pi}{3}}_0 = 2 \left( \frac{\left(\frac{\pi}{3}\right)^3}{3} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{\pi^3}{81} = \frac{2\pi^3}{81}. \] Vậy: \[ \int^{\frac{\pi}{3}}_0 [3\cos x + 2f(x)] \, dx = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi^3}{81}. \] Theo đề bài, ta có: \[ \int^{\frac{\pi}{3}}_0 [3\cos x + 2f(x)] \, dx = -5. \] Do đó: \[ \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi^3}{81} = -5. \] Điều này là vô lý vì $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ và $\frac{2\pi^3}{81}$ đều là các giá trị dương, không thể cộng lại bằng -5. Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc dữ liệu đã cho. Câu 8. Để tính giá trị của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = \frac{\pi}{2} \), chúng ta cần biết thêm thông tin về hàm số \( f(x) \). Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp đủ thông tin để xác định chính xác giá trị của \( f(x) \). Do đó, chúng ta cần thêm thông tin về hàm số \( f(x) \) để có thể tính giá trị của nó tại điểm \( x = \frac{\pi}{2} \). Vì vậy, câu trả lời là: \[ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = ? \] Để có thể tính giá trị này, chúng ta cần biết thêm thông tin về hàm số \( f(x) \).