Cứu em cứu em ạ

Câu 3. a) Xác suất để con ngựa về đích ở lần gieo thứ nhất bằng $\frac16.$ Để con ngựa về đích ở lần gieo thứ nhất, tức là con xúc xắc phải gieo được mặt có 6 chấm. Xác suất để con ngựa về đích ở lần gieo thứ nhất là: \[ P_1 = \frac{1}{6} \] b) Xác suất để con ngựa về đích ở lần gieo thứ hai bằng $\frac5{36}.$ Để con ngựa về đích ở lần gieo thứ hai, tức là ở lần gieo thứ nhất phải gieo được mặt có 1, 2, 3, 4 hoặc 5 chấm (không được 6 chấm vì lúc đó con ngựa đã về đích ở lần gieo thứ nhất). Sau đó, ở lần gieo thứ hai, tổng của số tương ứng với số chấm gieo được của con xúc xắc và số tương ứng ghi ở ô con ngựa đang đứng phải bằng 6. Cụ thể: - Nếu lần gieo thứ nhất gieo được 1 chấm, lần gieo thứ hai phải gieo được 5 chấm. - Nếu lần gieo thứ nhất gieo được 2 chấm, lần gieo thứ hai phải gieo được 4 chấm. - Nếu lần gieo thứ nhất gieo được 3 chấm, lần gieo thứ hai phải gieo được 3 chấm. - Nếu lần gieo thứ nhất gieo được 4 chấm, lần gieo thứ hai phải gieo được 2 chấm. - Nếu lần gieo thứ nhất gieo được 5 chấm, lần gieo thứ hai phải gieo được 1 chấm. Xác suất để con ngựa về đích ở lần gieo thứ hai là: \[ P_2 = \left( \frac{5}{6} \right) \times \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \right) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36} \] c) Xác suất để con ngựa về đích ở lần gieo thứ ba và trong cả ba lần gieo con ngựa đều được di chuyển bằng $\frac5{108}.$ Để con ngựa về đích ở lần gieo thứ ba và trong cả ba lần gieo con ngựa đều được di chuyển, tức là ở lần gieo thứ nhất phải gieo được mặt có 1, 2, 3, 4 hoặc 5 chấm (không được 6 chấm vì lúc đó con ngựa đã về đích ở lần gieo thứ nhất). Sau đó, ở lần gieo thứ hai, tổng của số tương ứng với số chấm gieo được của con xúc xắc và số tương ứng ghi ở ô con ngựa đang đứng phải nhỏ hơn hoặc bằng 6 nhưng không được bằng 6 (để con ngựa chưa về đích). Cuối cùng, ở lần gieo thứ ba, tổng của số tương ứng với số chấm gieo được của con xúc xắc và số tương ứng ghi ở ô con ngựa đang đứng phải bằng 6. Cụ thể: - Nếu lần gieo thứ nhất gieo được 1 chấm, lần gieo thứ hai phải gieo được 1, 2, 3 hoặc 4 chấm (không được 5 chấm vì lúc đó con ngựa đã về đích ở lần gieo thứ hai). Sau đó, lần gieo thứ ba phải gieo được 5 chấm. - Nếu lần gieo thứ nhất gieo được 2 chấm, lần gieo thứ hai phải gieo được 1, 2 hoặc 3 chấm (không được 4 chấm vì lúc đó con ngựa đã về đích ở lần gieo thứ hai). Sau đó, lần gieo thứ ba phải gieo được 4 chấm. - Nếu lần gieo thứ nhất gieo được 3 chấm, lần gieo thứ hai phải gieo được 1 hoặc 2 chấm (không được 3 chấm vì lúc đó con ngựa đã về đích ở lần gieo thứ hai). Sau đó, lần gieo thứ ba phải gieo được 3 chấm. - Nếu lần gieo thứ nhất gieo được 4 chấm, lần gieo thứ hai phải gieo được 1 chấm (không được 2 chấm vì lúc đó con ngựa đã về đích ở lần gieo thứ hai). Sau đó, lần gieo thứ ba phải gieo được 2 chấm. - Nếu lần gieo thứ nhất gieo được 5 chấm, lần gieo thứ hai phải gieo được 1 chấm (không được 2 chấm vì lúc đó con ngựa đã về đích ở lần gieo thứ hai). Sau đó, lần gieo thứ ba phải gieo được 1 chấm. Xác suất để con ngựa về đích ở lần gieo thứ ba và trong cả ba lần gieo con ngựa đều được di chuyển là: \[ P_3 = \left( \frac{5}{6} \right) \times \left( \frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} \right) \times \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \right) = \frac{5}{6} \times \frac{10}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{250}{1296} = \frac{125}{648} \] d) Xác suất để con ngựa về đích sau nhiều nhất ba lần gieo bằng $\frac{19}{54}.$ Xác suất để con ngựa về đích sau nhiều nhất ba lần gieo là tổng của xác suất để con ngựa về đích ở lần gieo thứ nhất, lần gieo thứ hai và lần gieo thứ ba: \[ P_{\text{tổng}} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{6} + \frac{25}{36} + \frac{125}{648} = \frac{108}{648} + \frac{450}{648} + \frac{125}{648} = \frac{683}{648} = \frac{19}{54} \] Đáp số: a) $\frac{1}{6}$; b) $\frac{25}{36}$; c) $\frac{125}{648}$; d) $\frac{19}{54}$. Câu 16. a) Tọa độ điểm C là $(1;2;0).$ Điểm C nằm trên mặt phẳng Oxy, do đó tọa độ z của nó là 0. Vì ABCD là hình chữ nhật, nên tọa độ của C sẽ là tổng của tọa độ của B và D. Ta có: - Tọa độ của B là $(1;0;0)$ (vì B nằm trên Ox và AB = 1) - Tọa độ của D là $(0;2;0)$ (vì D nằm trên Oy và AD = 2) Do đó, tọa độ của C là $(1 + 0; 0 + 2; 0) = (1; 2; 0)$ b) $~[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD}]=(6;-3;4).$ Ta tính các vectơ: - $\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{S} = (1; 2; 0) - (0; 0; 3) = (1; 2; -3)$ - $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = (0; 2; 0) - (1; 0; 0) = (-1; 2; 0)$ Tích có hướng của hai vectơ này là: \[ [\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{BD}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 0 - (-3) \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) \] \[ = \mathbf{i}(0 + 6) - \mathbf{j}(0 - 3) + \mathbf{k}(2 + 2) = 6\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k} = (6; 3; 4) \] c) Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng SC và song song với đường thẳng BD. Phương trình mặt phẳng $(P)~là~6x+3y+4z-12=0.$ Mặt phẳng (P) chứa SC và song song với BD, do đó vectơ pháp tuyến của (P) là tích có hướng của $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{BD}$, tức là $(6; 3; 4)$. Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ 6x + 3y + 4z + d = 0 \] Để xác định d, ta thay tọa độ của điểm C vào phương trình: \[ 6(1) + 3(2) + 4(0) + d = 0 \] \[ 6 + 6 + d = 0 \] \[ d = -12 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ 6x + 3y + 4z - 12 = 0 \] d) Khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (P) bằng $\frac6{61}.$ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Chọn điểm B trên đường thẳng BD, tọa độ của B là $(1; 0; 0)$. Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ d = \frac{|6(1) + 3(0) + 4(0) - 12|}{\sqrt{6^2 + 3^2 + 4^2}} = \frac{|6 - 12|}{\sqrt{36 + 9 + 16}} = \frac{6}{\sqrt{61}} = \frac{6}{61} \] Vậy khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (P) là $\frac{6}{61}$.