Giúp mình với!

Câu 1 1) Thực hiện phép tính: a) \( A = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ... + 2023 - 2024 \) Ta nhận thấy rằng mỗi cặp số \( (1 - 2), (3 - 4), (5 - 6), ..., (2023 - 2024) \) đều có kết quả là \(-1\). Số cặp số là: \[ \frac{2024}{2} = 1012 \] Vậy: \[ A = (-1) \times 1012 = -1012 \] b) \( B = \frac{12121212}{15151515} + \frac{121212}{353535} + \frac{1212}{6363} + \frac{12}{99} \) Chúng ta sẽ rút gọn từng phân số: \[ \frac{12121212}{15151515} = \frac{12 \times 1010101}{15 \times 1010101} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \] \[ \frac{121212}{353535} = \frac{12 \times 10101}{35 \times 10101} = \frac{12}{35} \] \[ \frac{1212}{6363} = \frac{12 \times 101}{63 \times 101} = \frac{12}{63} = \frac{4}{21} \] \[ \frac{12}{99} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \] Vậy: \[ B = \frac{4}{5} + \frac{12}{35} + \frac{4}{21} + \frac{4}{33} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số: \[ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 231}{5 \times 231} = \frac{924}{1155} \] \[ \frac{12}{35} = \frac{12 \times 33}{35 \times 33} = \frac{396}{1155} \] \[ \frac{4}{21} = \frac{4 \times 55}{21 \times 55} = \frac{220}{1155} \] \[ \frac{4}{33} = \frac{4 \times 35}{33 \times 35} = \frac{140}{1155} \] Vậy: \[ B = \frac{924 + 396 + 220 + 140}{1155} = \frac{1680}{1155} = \frac{336}{231} = \frac{112}{77} = \frac{16}{11} \] 2) Tính giá trị của biểu thức \( P = (a^2 + b) - (2a^2 + b) + 2(ab + 2021b) \) biết \( a - 2b = 2021 \). Chúng ta sẽ mở ngoặc và nhóm các hạng tử: \[ P = a^2 + b - 2a^2 - b + 2ab + 4042b \] \[ P = a^2 - 2a^2 + 2ab + 4042b \] \[ P = -a^2 + 2ab + 4042b \] Biết rằng \( a - 2b = 2021 \), chúng ta sẽ thay \( a = 2021 + 2b \) vào biểu thức: \[ P = -(2021 + 2b)^2 + 2(2021 + 2b)b + 4042b \] \[ P = -(2021^2 + 2 \cdot 2021 \cdot 2b + 4b^2) + 2(2021b + 2b^2) + 4042b \] \[ P = -(2021^2 + 4042b + 4b^2) + 4042b + 4b^2 + 4042b \] \[ P = -2021^2 - 4042b - 4b^2 + 4042b + 4b^2 + 4042b \] \[ P = -2021^2 + 4042b \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P = -2021^2 + 4042b \] Câu 2 1) Ta có: \[ x + (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 20) = 420 \] \[ x + x + 1 + x + 2 + ... + x + 20 = 420 \] \[ 21x + (1 + 2 + 3 + ... + 20) = 420 \] Ta tính tổng của dãy số từ 1 đến 20: \[ 1 + 2 + 3 + ... + 20 = \frac{20 \times 21}{2} = 210 \] Thay vào phương trình: \[ 21x + 210 = 420 \] \[ 21x = 420 - 210 \] \[ 21x = 210 \] \[ x = \frac{210}{21} \] \[ x = 10 \] 2) Ta có: \[ 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 56 \] Ta nhận thấy rằng: \[ 2^{x+1} = 2 \times 2^x \] \[ 2^{x+2} = 4 \times 2^x \] Do đó: \[ 2^x + 2 \times 2^x + 4 \times 2^x = 56 \] \[ 2^x (1 + 2 + 4) = 56 \] \[ 2^x \times 7 = 56 \] \[ 2^x = \frac{56}{7} \] \[ 2^x = 8 \] \[ 2^x = 2^3 \] Vậy: \[ x = 3 \] Đáp số: 1) \( x = 10 \) 2) \( x = 3 \) Câu 3 1) Ta thấy $25n+7>15n+4$ với mọi $n\in \mathbb{N}$. Gọi ƯCLN của $25n+7$ và $15n+4$ là d. Ta có $d|(25n+7)$ và $d|(15n+4)$. Suy ra $d|[(25n+7)-(15n+4)]$. Tức là $d|10n+3$. Suy ra $d|[(15n+4)-(10n+3)]$. Tức là $d|5n+1$. Suy ra $d|[(10n+3)-(5n+1)]$. Tức là $d|5n+2$. Suy ra $d|[(5n+2)-(5n+1)]$. Tức là $d|1$. Vậy $d=1$. Vậy ƯCLN của $25n+7$ và $15n+4$ là 1. 2) Ta thấy $147=3\times 7\times 7$. Mà n là số chính phương nên n phải chia hết cho $3\times 3\times 7\times 7=441$. Mà n có 4 chữ số nên n bằng 441 nhân với 2, 3 hoặc 4. Vậy n bằng 882, 1323 hoặc 1764. Câu 4 1) a) Độ dài một cạnh của hình thoi là \(120 : 4 = 30\) (cm). Ta có sơ đồ về độ dài hai đường chéo: Độ dài đường chéo thứ nhất là \((84 + 12) : 2 = 48\) (cm). Độ dài đường chéo thứ hai là \(84 - 48 = 36\) (cm). b) Diện tích hình thoi là \((48 + 36) : 2 = 864\) (cm^2). Chiều cao của hình thoi là \(864 : 30 = 28.8\) (cm). Đáp số: a) 48 cm; 36 cm. b) 28.8 cm. 2) Số đường thẳng đi qua 5 điểm thẳng hàng là 5 đường thẳng. Số đường thẳng đi qua mỗi cặp trong 25 điểm còn lại là \(25 \times 24 : 2 = 300\) (đường thẳng). Số đường thẳng đi qua mỗi cặp gồm một điểm trong 5 điểm thẳng hàng và một điểm trong 25 điểm còn lại là \(5 \times 25 = 125\) (đường thẳng). Số đường thẳng được vẽ là \(5 + 300 + 125 = 430\) (đường thẳng). Đáp số: 430 đường thẳng. Câu 5 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm các giá trị của \( x \) và \( y \) sao cho biểu thức \( (5^x + 3)(5^y + 4) = 516 \). Bước 1: Xác định các giá trị \( 5^x + 3 \) và \( 5^y + 4 \) có thể là bao nhiêu. Ta thấy rằng \( 516 \) là một số lớn, do đó \( 5^x + 3 \) và \( 5^y + 4 \) cũng phải là các số lớn. Chúng ta sẽ thử các giá trị \( x \) và \( y \) nhỏ dần để tìm ra các giá trị phù hợp. Bước 2: Kiểm tra các giá trị \( x \) và \( y \). - Nếu \( x = 0 \), thì \( 5^0 + 3 = 1 + 3 = 4 \). Điều này không thể vì \( 4 \times (5^y + 4) \neq 516 \). - Nếu \( x = 1 \), thì \( 5^1 + 3 = 5 + 3 = 8 \). Điều này cũng không thể vì \( 8 \times (5^y + 4) \neq 516 \). - Nếu \( x = 2 \), thì \( 5^2 + 3 = 25 + 3 = 28 \). Điều này cũng không thể vì \( 28 \times (5^y + 4) \neq 516 \). - Nếu \( x = 3 \), thì \( 5^3 + 3 = 125 + 3 = 128 \). Điều này cũng không thể vì \( 128 \times (5^y + 4) \neq 516 \). - Nếu \( x = 4 \), thì \( 5^4 + 3 = 625 + 3 = 628 \). Điều này cũng không thể vì \( 628 \times (5^y + 4) \neq 516 \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị \( y \). - Nếu \( y = 0 \), thì \( 5^0 + 4 = 1 + 4 = 5 \). Điều này không thể vì \( (5^x + 3) \times 5 \neq 516 \). - Nếu \( y = 1 \), thì \( 5^1 + 4 = 5 + 4 = 9 \). Điều này cũng không thể vì \( (5^x + 3) \times 9 \neq 516 \). - Nếu \( y = 2 \), thì \( 5^2 + 4 = 25 + 4 = 29 \). Điều này cũng không thể vì \( (5^x + 3) \times 29 \neq 516 \). - Nếu \( y = 3 \), thì \( 5^3 + 4 = 125 + 4 = 129 \). Điều này cũng không thể vì \( (5^x + 3) \times 129 \neq 516 \). - Nếu \( y = 4 \), thì \( 5^4 + 4 = 625 + 4 = 629 \). Điều này cũng không thể vì \( (5^x + 3) \times 629 \neq 516 \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị \( x \) và \( y \) khác nhau. - Nếu \( x = 2 \) và \( y = 1 \), thì \( (5^2 + 3)(5^1 + 4) = (25 + 3)(5 + 4) = 28 \times 9 = 252 \). Điều này không thể vì \( 252 \neq 516 \). - Nếu \( x = 1 \) và \( y = 2 \), thì \( (5^1 + 3)(5^2 + 4) = (5 + 3)(25 + 4) = 8 \times 29 = 232 \). Điều này không thể vì \( 232 \neq 516 \). Cuối cùng, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị \( x = 2 \) và \( y = 2 \). - Nếu \( x = 2 \) và \( y = 2 \), thì \( (5^2 + 3)(5^2 + 4) = (25 + 3)(25 + 4) = 28 \times 29 = 812 \). Điều này không thể vì \( 812 \neq 516 \). Sau khi kiểm tra tất cả các trường hợp, chúng ta thấy rằng không có giá trị nào của \( x \) và \( y \) thỏa mãn điều kiện \( (5^x + 3)(5^y + 4) = 516 \). Do đó, không có số tự nhiên \( x \) và \( y \) thỏa mãn điều kiện trên. Đáp số: Không có số tự nhiên \( x \) và \( y \) thỏa mãn điều kiện \( (5^x + 3)(5^y + 4) = 516 \).