giải chi tiết

Bài 4. a) Tính số học sinh giỏi: Số học sinh giỏi của lớp là: \[ 40 \times 25\% = 40 \times \frac{25}{100} = 40 \times 0,25 = 10 \text{ (học sinh)} \] Tính số học sinh trung bình: Số học sinh trung bình của lớp là: \[ 10 \times \frac{2}{5} = 10 \times 0,4 = 4 \text{ (học sinh)} \] Tính số học sinh khá: Số học sinh khá của lớp là: \[ 40 - (10 + 4) = 40 - 14 = 26 \text{ (học sinh)} \] b) Tính tỉ số phần trăm của số học sinh khá so với học sinh cả lớp: Tỉ số phần trăm của số học sinh khá so với học sinh cả lớp là: \[ \frac{26}{40} \times 100\% = 0,65 \times 100\% = 65\% \] Đáp số: a) Số học sinh giỏi: 10 học sinh Số học sinh trung bình: 4 học sinh Số học sinh khá: 26 học sinh b) Tỉ số phần trăm của số học sinh khá so với học sinh cả lớp: 65% Bài 5. Số cây mít trong vườn nhà An là: 12 : 30 x 25 = 10 (cây) Số cây cam trong vườn nhà An là: 12 x $\frac{4}{3}$ = 16 (cây) Tổng số cây mít, cam, hồng xiêm trong vườn nhà An là: 10 + 16 = 26 (cây) Đáp số: 26 cây Bài 6. Số trang sách còn lại sau khi bạn Nga đọc ngày thứ nhất là $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$ (số trang sách) Số trang sách còn lại sau khi bạn Nga đọc ngày thứ hai là $\frac{4}{5}-\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{4}{15}$ (số trang sách) Số trang sách của cuốn sách đó là $200:\frac{4}{15}=750$ (trang) Số trang sách bạn Nga đọc ngày thứ nhất là $750\times \frac{1}{5}=150$ (trang) Số trang sách bạn Nga đọc ngày thứ hai là $750\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=400$ (trang) Đáp số: a) 750 trang; b) Ngày thứ nhất: 150 trang, Ngày thứ hai: 400 trang Bài 7. Để thực hiện phép tính $\frac{2}{1 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 7} + ... + \frac{2}{97 \cdot 100}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và biến đổi từng phân số thành dạng dễ tính hơn. Nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng $\frac{2}{n(n+3)}$. Chúng ta sẽ biến đổi từng phân số này thành dạng tổng của hai phân số khác nhau. Ta có: \[ \frac{2}{n(n+3)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+3} \] Để tìm $A$ và $B$, ta nhân cả hai vế với $n(n+3)$: \[ 2 = A(n+3) + Bn \] \[ 2 = An + 3A + Bn \] \[ 2 = (A + B)n + 3A \] So sánh hệ số của $n$ và hằng số ở cả hai vế, ta có: \[ A + B = 0 \] \[ 3A = 2 \] Từ $3A = 2$, ta có: \[ A = \frac{2}{3} \] Từ $A + B = 0$, ta có: \[ \frac{2}{3} + B = 0 \] \[ B = -\frac{2}{3} \] Vậy: \[ \frac{2}{n(n+3)} = \frac{\frac{2}{3}}{n} - \frac{\frac{2}{3}}{n+3} \] \[ = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) \] Áp dụng vào bài toán: \[ \frac{2}{1 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 7} + ... + \frac{2}{97 \cdot 100} \] \[ = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \frac{2}{3} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + ... + \frac{2}{3} \left( \frac{1}{97} - \frac{1}{100} \right) \] Nhận thấy rằng đây là một dãy tổng có nhiều hạng tử bị triệt tiêu: \[ = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{97} - \frac{1}{100} \right) \] \[ = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{100} \right) \] \[ = \frac{2}{3} \left( 1 - \frac{1}{100} \right) \] \[ = \frac{2}{3} \left( \frac{100}{100} - \frac{1}{100} \right) \] \[ = \frac{2}{3} \left( \frac{99}{100} \right) \] \[ = \frac{2 \cdot 99}{3 \cdot 100} \] \[ = \frac{198}{300} \] \[ = \frac{33}{50} \] Vậy kết quả của phép tính là: \[ \boxed{\frac{33}{50}} \] Bài 8. Ta có: $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... + \frac{1}{100^2}$ $= \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + ... + \frac{1}{10000}$ $< \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{99 \times 100}$ $= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{99} - \frac{1}{100}$ $= 1 - \frac{1}{100}$ $= \frac{99}{100}$ $< 1$ Vậy $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... + \frac{1}{100^2} < 1$. Bài 9. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp của \( n \) để xác định giá trị của \( n \) sao cho \( A \) là một phân số hoặc một số nguyên. a) A là một phân số Phân số là một biểu thức đại số có dạng \(\frac{a}{b}\) với \( b \neq 0 \). Để \( A = \frac{12n}{3n + 3} \) là một phân số, ta cần \( 3n + 3 \neq 0 \). Ta có: \[ 3n + 3 \neq 0 \] \[ 3(n + 1) \neq 0 \] \[ n + 1 \neq 0 \] \[ n \neq -1 \] Vậy, \( A \) là một phân số khi \( n \neq -1 \). b) A là một số nguyên Để \( A = \frac{12n}{3n + 3} \) là một số nguyên, ta cần \( 12n \) chia hết cho \( 3n + 3 \). Ta có: \[ A = \frac{12n}{3n + 3} = \frac{12n}{3(n + 1)} = \frac{4n}{n + 1} \] Để \( \frac{4n}{n + 1} \) là một số nguyên, \( 4n \) phải chia hết cho \( n + 1 \). Ta xét các trường hợp \( n + 1 \) là ước của 4: - \( n + 1 = 1 \Rightarrow n = 0 \) - \( n + 1 = -1 \Rightarrow n = -2 \) - \( n + 1 = 2 \Rightarrow n = 1 \) - \( n + 1 = -2 \Rightarrow n = -3 \) - \( n + 1 = 4 \Rightarrow n = 3 \) - \( n + 1 = -4 \Rightarrow n = -5 \) Ta kiểm tra từng trường hợp: - \( n = 0 \): \( A = \frac{4 \cdot 0}{0 + 1} = 0 \) (là số nguyên) - \( n = -2 \): \( A = \frac{4 \cdot (-2)}{-2 + 1} = \frac{-8}{-1} = 8 \) (là số nguyên) - \( n = 1 \): \( A = \frac{4 \cdot 1}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \) (là số nguyên) - \( n = -3 \): \( A = \frac{4 \cdot (-3)}{-3 + 1} = \frac{-12}{-2} = 6 \) (là số nguyên) - \( n = 3 \): \( A = \frac{4 \cdot 3}{3 + 1} = \frac{12}{4} = 3 \) (là số nguyên) - \( n = -5 \): \( A = \frac{4 \cdot (-5)}{-5 + 1} = \frac{-20}{-4} = 5 \) (là số nguyên) Vậy, \( A \) là một số nguyên khi \( n = 0, -2, 1, -3, 3, -5 \). Đáp số: a) \( A \) là một phân số khi \( n \neq -1 \). b) \( A \) là một số nguyên khi \( n = 0, -2, 1, -3, 3, -5 \).