Bdbxnxnxnxmnx

Câu 10: Để tính góc tạo bởi mặt phẳng $(P)$ với trục $Oy$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $x - \sqrt{3}y + 1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (1, -\sqrt{3}, 0)$. 2. Xác định vectơ chỉ phương của trục $Oy$: Vectơ chỉ phương của trục $Oy$ là $\vec{j} = (0, 1, 0)$. 3. Tính góc giữa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ chỉ phương của trục $Oy$: Gọi $\theta$ là góc giữa vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và vectơ chỉ phương $\vec{j}$. Ta có công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n} \cdot \vec{j}}{|\vec{n}| |\vec{j}|} \] Tính tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{j}$: \[ \vec{n} \cdot \vec{j} = (1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (0, 1, 0) = 1 \cdot 0 + (-\sqrt{3}) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -\sqrt{3} \] Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$: \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] Độ dài của vectơ $\vec{j}$: \[ |\vec{j}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \] Vậy: \[ \cos \theta = \frac{-\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] 4. Tính góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 150^\circ \] 5. Tính góc giữa mặt phẳng $(P)$ và trục $Oy$: Góc giữa mặt phẳng $(P)$ và trục $Oy$ là góc phụ của góc $\theta$, tức là: \[ \alpha = 90^\circ - \theta = 90^\circ - 150^\circ = -60^\circ \] Vì góc giữa mặt phẳng và trục luôn là góc nhọn hoặc vuông, nên ta lấy góc phụ của $\theta$: \[ \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \] Vậy góc tạo bởi mặt phẳng $(P)$ với trục $Oy$ là $30^\circ$. Đáp án đúng là B. $30^\circ$. Câu 11: Để tìm góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta cần tìm góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 2y + z + 3 = 0$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}_1 = (1, -2, 1)$. - Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình $x + y - 2z - 2 = 0$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n}_2 = (1, 1, -2)$. 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 1 - 2 - 2 = -3 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến: \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] 5. Tìm góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \] 6. Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn giữa chúng: \[ \text{Góc giữa hai mặt phẳng} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $60^\circ$. Đáp án đúng là: D. $60^\circ$. Câu 12: Để tìm góc giữa hai đường thẳng $(d)$ và $(d')$, ta cần xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng. Đường thẳng $(d)$ có phương trình tham số: \[ (d): \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = 3 - t \end{array} \right., \quad (t \in \mathbb{R}) \] Vectơ chỉ phương của $(d)$ là $\vec{u} = (1, 0, -1)$. Đường thẳng $(d')$ có phương trình tham số: \[ (d'): \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t' \\ y = -1 \\ z = 2 - 2t' \end{array} \right., \quad (t' \in \mathbb{R}) \] Vectơ chỉ phương của $(d')$ là $\vec{v} = (2, 0, -2)$. Ta thấy rằng $\vec{v} = 2\vec{u}$, tức là vectơ chỉ phương của $(d')$ là bội của vectơ chỉ phương của $(d)$. Điều này có nghĩa là hai đường thẳng $(d)$ và $(d')$ song song hoặc trùng nhau. Do đó, góc giữa hai đường thẳng $(d)$ và $(d')$ là $0^\circ$. Đáp án đúng là: A. $0^\circ$. Câu 1: a) Mệnh đề này sai vì đường thẳng d nhận $\overrightarrow u=(1;-2;3)$ là một véctơ chỉ phương, còn $\overrightarrow u=(-1;2;-3)$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng đối của d. b) Mệnh đề này sai vì thay t = -1 vào phương trình tham số của đường thẳng d ta được x = 2, y = 3, z = -1. Vậy điểm A(2;3;1) không thuộc đường thẳng d. c) Mệnh đề này đúng vì thay t = -2 vào phương trình tham số của đường thẳng d ta được x = 1, y = 5, z = -4. Vậy điểm B(1;5;-4) thuộc đường thẳng d. d) Mệnh đề này đúng vì phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{3}$. Câu 2: a) Đúng vì đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;3) và có một vectơ chỉ phương (2;1;-3), nên phương trình tham số của d là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - 3t \end{array} \right. (t \in \mathbb{R}) \] b) Sai vì đường thẳng d có vectơ chỉ phương (2;1;-3), trong khi đường thẳng \( d_1 \) có vectơ chỉ phương (2;1;0). Hai vectơ này không cùng phương, do đó hai đường thẳng không trùng nhau. c) Đúng vì đường thẳng \( d_2 \) đi qua điểm A(2;0;1) và song song với d, nên vectơ chỉ phương của \( d_2 \) cũng là (2;1;-3). Phương trình chính tắc của \( d_2 \) là: \[ d_2: \frac{x-2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-3} \] d) Sai vì để hai đường thẳng vuông góc, tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương phải bằng 0. Vectơ chỉ phương của d là (2;1;-3), vectơ chỉ phương của \( d_1 \) là (1;4;2). Tích vô hướng của hai vectơ này là: \[ (2;1;-3) \cdot (1;4;2) = 2 \times 1 + 1 \times 4 + (-3) \times 2 = 2 + 4 - 6 = 0 \] Do đó, hai đường thẳng vuông góc với nhau, nhưng khẳng định ban đầu là sai. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 3: Để kiểm tra các khẳng định, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Góc giữa đường thẳng \( d \) và trục tọa độ \( Ox \) Phương trình tham số của đường thẳng \( d \): \[ \begin{cases} x = -3 + t \\ y = -1 + t \\ z = -t \end{cases} \] Vector chỉ phương của đường thẳng \( d \) là: \[ \vec{u} = (1, 1, -1) \] Trục tọa độ \( Ox \) có vector chỉ phương là: \[ \vec{i} = (1, 0, 0) \] Góc giữa hai vector này là \( \alpha \). Ta có: \[ \cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{i}}{|\vec{u}| |\vec{i}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \vec{u} \cdot \vec{i} = 1 \times 1 + 1 \times 0 + (-1) \times 0 = 1 \] Tính độ dài các vector: \[ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3} \] \[ |\vec{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] Do đó: \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Khẳng định a) là đúng. b) Góc giữa đường thẳng \( d \) và đường thẳng \( d_1 \) Phương trình tham số của đường thẳng \( d_1 \): \[ \begin{cases} x = -1 + 3s \\ y = 3 + s \\ z = -5 - s \end{cases} \] Vector chỉ phương của đường thẳng \( d_1 \) là: \[ \vec{v} = (3, 1, -1) \] Góc giữa hai đường thẳng \( d \) và \( d_1 \) là \( \varphi \). Ta có: \[ \cos \varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 1 \times 1 + (-1) \times (-1) = 3 + 1 + 1 = 5 \] Tính độ dài các vector: \[ |\vec{u}| = \sqrt{3} \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \] Do đó: \[ \cos \varphi = \frac{5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{11}} = \frac{5}{\sqrt{33}} \] Ta cần kiểm tra xem \( \cos \varphi \) có nhỏ hơn \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) hay không: \[ \frac{5}{\sqrt{33}} \approx \frac{5}{5.74} \approx 0.87 \] Vì \( 0.87 > 0.5 \), nên \( \varphi < 60^\circ \). Khẳng định b) là đúng. Kết luận a) Đúng b) Đúng