hekdijcl pẽbb

Câu 54. a) Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$: \[ 2 - 2 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) - 7 = 2 - 6 - 3 - 7 = -14 \neq 0 \] Do đó, điểm B không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. Mệnh đề này sai. b) Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 3 - 2, -1 - 1) = (1, 1, -2) \] Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(1, 2, 1) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB} = (1, 1, -2)$ là: \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{-2} \] Mệnh đề này sai vì phương trình đã cho là: \[ \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{-2} \] c) Mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_{\alpha} = (1, -2, 3)$. Mặt phẳng qua A và B và vuông góc với $(\alpha)$ sẽ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_{\alpha}$. Phương trình mặt phẳng qua điểm A(1, 2, 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_{\alpha} = (1, -2, 3)$ là: \[ 1(x - 1) - 2(y - 2) + 3(z - 1) = 0 \] \[ x - 1 - 2y + 4 + 3z - 3 = 0 \] \[ x - 2y + 3z = 0 \] Mệnh đề này sai vì phương trình đã cho là: \[ x + 5y + 3z - 14 = 0 \] d) Mặt phẳng $(Q)$ chứa trục Oz và đi qua điểm A(1, 2, 1) sẽ có dạng: \[ ax + by = 0 \] Thay tọa độ điểm A vào phương trình: \[ a \cdot 1 + b \cdot 2 = 0 \] \[ a + 2b = 0 \] Chọn $a = 2$, $b = -1$, ta có phương trình mặt phẳng $(Q)$ là: \[ 2x - y = 0 \] Mệnh đề này đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) đúng. Câu 55. a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}(2;1;-1)$ Đúng vì phương trình mặt phẳng (P) là $2x + y - z - 1 = 0$, từ đó ta thấy vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n}(2;1;-1)$. b) Điểm $A(2;0;3)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ Để kiểm tra điểm $A(2;0;3)$ có thuộc đường thẳng $\Delta$ hay không, ta thay tọa độ của điểm A vào phương trình của cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Thay vào phương trình của mặt phẳng (P): \[ 2(2) + 0 - 3 - 1 = 4 - 3 - 1 = 0 \] Thay vào phương trình của mặt phẳng (Q): \[ 2 - 2(0) + 3 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0 \] Vì cả hai phương trình đều thỏa mãn, nên điểm $A(2;0;3)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. Suy ra: Đúng. c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u}(1;3;5)$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là vectơ pháp tuyến của cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta có: - Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_1}(2;1;-1)$ - Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_2}(1;-2;1)$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(1 - 2) - \mathbf{j}(2 + 1) + \mathbf{k}(-4 - 1) \] \[ = -\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 5\mathbf{k} \] \[ = (-1; -3; -5) \] Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u}(-1; -3; -5)$, không phải là $\overrightarrow{u}(1;3;5)$. Suy ra: Sai. d) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = -3 - 3t, t \in \mathbb{R} \\ z = -2 - 5t \end{array} \right. \] Ta đã tìm được vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u}(-1; -3; -5)$. Để viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$, ta cần biết tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng này. Ta đã biết điểm $A(2;0;3)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ sẽ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 0 - 3t \\ z = 3 - 5t \end{array} \right. \] Như vậy, phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ không phải là \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = -3 - 3t, t \in \mathbb{R} \\ z = -2 - 5t \end{array} \right. \] Suy ra: Sai. Tóm lại: - a) Đúng - b) Đúng - c) Sai - d) Sai Câu 56. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow{n}(3; -7; 2)$. - Mặt phẳng $(Q): 3x - 7z + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_Q}(3; 0; -7)$. - Do đó, mệnh đề này là Sai vì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}(3; 0; -7)$, không phải là $\overrightarrow{n}(3; -7; 2)$. Mệnh đề b) Điểm $(-3; -7; -1)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. - Để kiểm tra điểm $(-3; -7; -1)$ có thuộc đường thẳng $\Delta$ hay không, ta cần biết phương trình của đường thẳng $\Delta$. Tuy nhiên, chưa có thông tin về phương trình của $\Delta$, nên chúng ta không thể kiểm tra trực tiếp. Chúng ta sẽ kiểm tra sau khi tìm được phương trình của $\Delta$. Mệnh đề c) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $(7; -13; 6)$. - Đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là vectơ vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của $(P)$ và $(Q)$. - Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}(1; -1; 3)$. - Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}(3; 0; -7)$. - Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{n_P} \times \overrightarrow{n_Q}$: \[ \overrightarrow{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & -7 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-7) - (3)(0)) - \mathbf{j}((1)(-7) - (3)(3)) + \mathbf{k}((1)(0) - (-1)(3)) \] \[ \overrightarrow{d} = \mathbf{i}(7) - \mathbf{j}(-7 - 9) + \mathbf{k}(3) = 7\mathbf{i} + 16\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \] \[ \overrightarrow{d} = (7; 16; 3) \] - Do đó, mệnh đề này là Sai vì vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $(7; 16; 3)$, không phải là $(7; -13; 6)$. Mệnh đề d) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{array}{l} x = 4 - 7t \\ y = 9 - 13t, t \in \mathbb{R} \\ z = 2 - 6t \end{array} \right.$ - Ta đã tìm được vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $(7; 16; 3)$. Để viết phương trình tham số của $\Delta$, ta cần một điểm thuộc $\Delta$. Ta có thể tìm điểm chung của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng cách giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 3z - 1 = 0 \\ 3x - 7z + 2 = 0 \end{array} \right. \] - Giả sử $z = t$, ta có: \[ 3x - 7t + 2 = 0 \implies x = \frac{7t - 2}{3} \] Thay vào phương trình $(P)$: \[ \frac{7t - 2}{3} - y + 3t - 1 = 0 \implies y = \frac{7t - 2}{3} + 3t - 1 = \frac{7t - 2 + 9t - 3}{3} = \frac{16t - 5}{3} \] - Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{7t - 2}{3} \\ y = \frac{16t - 5}{3} \\ z = t \end{array} \right. \] - Do đó, mệnh đề này là Sai vì phương trình tham số của $\Delta$ không phải là $\left\{ \begin{array}{l} x = 4 - 7t \\ y = 9 - 13t, t \in \mathbb{R} \\ z = 2 - 6t \end{array} \right.$ Kết luận - Mệnh đề a) Sai - Mệnh đề b) Không thể kiểm tra trực tiếp - Mệnh đề c) Sai - Mệnh đề d) Sai Câu 57. a) Đúng vì một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow a(2;3;-1).$ b) Sai vì phương trình đường thẳng qua A và song song với d là $\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+1}{-1}.$ c) Đúng vì phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d là $2x+3y-z-12=0.$ d) Đúng vì phương trình mặt phẳng (P) chứa d và đi qua A là: $x+y+5z+1=0.$