Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác $$ ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax . Tia BM cắt Ax tại...

Bài 8:

1. Ta có : $$ (nội tiếp chắn nửa đường tròn) $$ (vì là hai góc kề bù). $$ (nội tiếp chắn nửa đường tròn) $$ (vì là hai góc kề bù). $$. Mà $$ và $$ là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.

2. Ta có $$ (vì AI là tiếp tuyến) $$ vuông tại A có $$ ( theo trên). Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao $$. IB.
3. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc $$ $$ ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) $$ là tia phân giác góc ABF . (1) 

Theo trên ta có  $$ hay BE là đường cao của tam giác ABF (2). 

Từ (1) và $$
4. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến $$ là trung điểm của AF . (3)
Từ $$ (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác HAK (5) Từ (4) và $$ HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến $$ E là trung điểm của HK . (6).
Từ (3), (4) và $$ là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).
5. Theo trên AKFH là hình thoi $$ hay $$ tứ giác AKFI là hình thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân.
AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB .
Thật vậy: M là trung điểm của cung $$ ( $$ góc nội tiếp ). (7) 

Tam giác ABI vuông tại A có $$ éAIB $$.(8)
Từ (7) và $$ AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau). Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiểp được một đường tròn.