Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax . Tia BM cắt Ax tại...

Bài 8:

1. Ta có : $\angle \mathrm{AMB}=90^{\circ}$ (nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \angle \mathrm{KMF}=90^{\circ}$ (vì là hai góc kề bù). $\angle \mathrm{AEB}=90^{\circ}$ (nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \angle \mathrm{KEF}=90^{\circ}$ (vì là hai góc kề bù). $\Rightarrow \angle \mathrm{KMF}+\angle \mathrm{KEF}=180^{\circ}$. Mà $\angle \mathrm{KMF}$ và $\angle \mathrm{KEF}$ là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.

2. Ta có $\angle \mathrm{IAB}=90^{\circ}$ (vì AI là tiếp tuyến) $\Rightarrow \triangle \Delta \mathrm{AIB}$ vuông tại A có $\mathrm{AM} \perp \mathrm{IB}$ ( theo trên). Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao $\Rightarrow \mathrm{AI}^2=\mathrm{IM}$. IB.
3. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc $\mathrm{IAM}=>\angle \mathrm{IAE}=\angle \mathrm{MAE} \Rightarrow \overparen{\mathrm{AE}}=\overparen{\mathrm{ME}}$ $\Rightarrow \angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{MBE}$ ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) $\Rightarrow \mathrm{BE}$ là tia phân giác góc ABF . (1) 

Theo trên ta có  $\mathrm{AEB}=90^{\circ}=>\mathrm{BE} \perp \mathrm{AF}$ hay BE là đường cao của tam giác ABF (2). 

Từ (1) và $(2)=>B A F ~ l a ̀ ~ t a m ~ g i a ́ c ~ c a ̂ n . ~ t a ̣ i ~ B ~$
4. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến $=>\mathrm{E}$ là trung điểm của AF . (3)
Từ $\mathrm{BE} \perp \mathrm{AF}=>\mathrm{AF} \perp \mathrm{HK}$ (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác HAK (5) Từ (4) và $(5)=>$ HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến $=>$ E là trung điểm của HK . (6).
Từ (3), (4) và $(6)=>A K F H$ là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).
5. Theo trên AKFH là hình thoi $\Rightarrow \mathrm{HA} / / \mathrm{FK}$ hay $\mathrm{IA} / / \mathrm{FK} \Rightarrow$ tứ giác AKFI là hình thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân.
AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB .
Thật vậy: M là trung điểm của cung $\mathrm{AB}=>\angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{MAI}=45^{\circ}$ ( $\mathrm{t} / \mathrm{c}$ góc nội tiếp ). (7) 

Tam giác ABI vuông tại A có $\angle \mathrm{ABI}=45^{\circ}=>$ éAIB $=45^{\circ}$.(8)
Từ (7) và $(8) \Rightarrow \angle \mathrm{IAK}=\angle \mathrm{AIF}=45^{\circ} \Rightarrow>$ AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau). Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiểp được một đường tròn.