4/1.4 + 4/4.7 + 4/7.10 + ... + 4/94.97 + 4/97.100

Để tính giá trị của biểu thức \( \frac{4}{1 \times 4} + \frac{4}{4 \times 7} + \frac{4}{7 \times 10} + \ldots + \frac{4}{94 \times 97} + \frac{4}{97 \times 100} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và nhóm các phân số lại với nhau. Nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng \( \frac{4}{n(n+3)} \). Ta có thể viết lại mỗi phân số này dưới dạng: \[ \frac{4}{n(n+3)} = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) \] Áp dụng phương pháp này cho từng phân số trong biểu thức: \[ \frac{4}{1 \times 4} = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) \] \[ \frac{4}{4 \times 7} = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) \] \[ \frac{4}{7 \times 10} = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) \] \[ \vdots \] \[ \frac{4}{94 \times 97} = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{94} - \frac{1}{97} \right) \] \[ \frac{4}{97 \times 100} = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{97} - \frac{1}{100} \right) \] Khi cộng tất cả các phân số này lại, ta nhận thấy rằng các phân số ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau: \[ \frac{4}{3} \left( \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{94} - \frac{1}{97} \right) + \left( \frac{1}{97} - \frac{1}{100} \right) \right) \] Các phân số ở giữa sẽ bị triệt tiêu, chỉ còn lại: \[ \frac{4}{3} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{100} \right) \] Tính giá trị của biểu thức này: \[ \frac{4}{3} \left( 1 - \frac{1}{100} \right) = \frac{4}{3} \left( \frac{100}{100} - \frac{1}{100} \right) = \frac{4}{3} \left( \frac{99}{100} \right) = \frac{4 \times 99}{3 \times 100} = \frac{396}{300} = \frac{33}{25} \] Vậy giá trị của biểu thức là: \[ \frac{33}{25} \]