Giúp mik vs ạ

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về khái niệm nguyên hàm và đạo hàm. - Nguyên hàm của một hàm số \( f(x) \) là một hàm số \( F(x) \) sao cho đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \). Điều này có nghĩa là: \[ F'(x) = f(x) \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \( F(x) = f'(x) \) - Khẳng định này sai vì \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \), không phải đạo hàm của \( f(x) \). B. \( F'(x) = f(x) \) - Khẳng định này đúng vì theo định nghĩa của nguyên hàm, đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \). C. \( F(x) = f'(x) + C \) - Khẳng định này sai vì \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \), không phải đạo hàm của \( f(x) \) cộng thêm hằng số. D. \( F'(x) + C = f(x) \) - Khẳng định này sai vì đạo hàm của \( F(x) \) đã bằng \( f(x) \), không cần thêm hằng số \( C \). Vậy khẳng định đúng là: B. \( F'(x) = f(x) \) Đáp án: B. \( F'(x) = f(x) \) Câu 2. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( F(x) = -3\sin x + 2\cos x \), ta cần tìm hàm số \( f(x) \) sao cho \( F'(x) = f(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F(x) = -3\sin x + 2\cos x \] Tính đạo hàm từng thành phần: \[ F'(x) = (-3\sin x)' + (2\cos x)' \] \[ F'(x) = -3(\sin x)' + 2(\cos x)' \] \[ F'(x) = -3\cos x + 2(-\sin x) \] \[ F'(x) = -3\cos x - 2\sin x \] Bước 2: So sánh kết quả với các đáp án đã cho: A. \( f(x) = -2\cos x - 3\sin x \) B. \( f(x) = -2\cos x + 3\sin x \) C. \( f(x) = 3\cos x + 2\sin x \) D. \( f(x) = 2\cos x + 3\sin x \) Ta thấy rằng \( F'(x) = -3\cos x - 2\sin x \) khớp với đáp án A. Vậy, hàm số \( f(x) = -2\cos x - 3\sin x \) là nguyên hàm của hàm số \( F(x) = -3\sin x + 2\cos x \). Đáp án đúng là: A. \( f(x) = -2\cos x - 3\sin x \). Câu 3. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = -6x^5 + 12x^3 + 4 \), ta thực hiện theo từng bước như sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử riêng lẻ. - Nguyên hàm của \( -6x^5 \): \[ \int (-6x^5) \, dx = -6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} = -6 \cdot \frac{x^6}{6} = -x^6 \] - Nguyên hàm của \( 12x^3 \): \[ \int (12x^3) \, dx = 12 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4 \] - Nguyên hàm của \( 4 \): \[ \int 4 \, dx = 4x \] Bước 2: Cộng tất cả các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (-6x^5 + 12x^3 + 4) \, dx = -x^6 + 3x^4 + 4x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = -6x^5 + 12x^3 + 4 \) là: \[ -x^6 + 3x^4 + 4x + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( -x^6 + 3x^4 + 4x + C \). Câu 4. Theo định lý Newton-Leibniz, nếu \( F(x) \) là nguyên hàm của hàm số \( f(x) \), thì tích phân của \( f(x) \) trên đoạn \([m, n]\) được tính như sau: \[ \int_{m}^{n} f(x) \, dx = F(n) - F(m) \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( F(n) - F(m) \) Lập luận từng bước: 1. Xác định rằng \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \). 2. Áp dụng định lý Newton-Leibniz để tính tích phân từ \( m \) đến \( n \): \[ \int_{m}^{n} f(x) \, dx = F(n) - F(m) \] 3. Kết luận rằng đáp án đúng là B. \( F(n) - F(m) \). Đáp án: B. \( F(n) - F(m) \) Câu 5. Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định tính chất đúng của tích phân của hàm số liên tục trên đoạn [c,d] và k là số thực tùy ý thuộc đoạn [a,b]. Chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xác định tính chất đúng. A. $\int^2_0 f(x) dx = \int^2_0 f(x) dx + \int^2_0 f(x) dx$ - Đây là một khẳng định sai vì tích phân của một hàm từ 0 đến 2 không thể bằng tổng của hai lần tích phân đó. B. $\int^k f(x) dx = \int^k f(x) dx - \int^k f(x) dx$ - Đây cũng là một khẳng định sai vì tích phân của một hàm từ 0 đến k trừ đi chính nó sẽ bằng 0, không phải là tích phân ban đầu. C. $\int^2_x f(x) dx = \int^2_x f(x) dy + \int^2_x f(x) dx$ - Đây là một khẳng định sai vì tích phân của một hàm từ x đến 2 không thể bằng tổng của hai lần tích phân đó. D. $\int^2_0 f(x) dx = \int^2_k f(x) dy - \int^k_0 f(x) dz$ - Đây là một khẳng định sai vì tích phân của một hàm từ 0 đến 2 không thể bằng hiệu của hai tích phân khác nhau. Tuy nhiên, nếu chúng ta xem xét lại các lựa chọn, chúng ta thấy rằng không có lựa chọn nào đúng theo các tính chất cơ bản của tích phân. Tính chất đúng của tích phân là: $\int^b_a f(x) dx = \int^c_a f(x) dx + \int^b_c f(x) dx$ Trong đó, a, b, và c là các điểm trong đoạn [a,b]. Do đó, không có lựa chọn nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: Không có lựa chọn đúng. Câu 6. Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a,c]$ và $b$ là số thực tùy ý thuộc đoạn $[a,c].$ Nếu biết $\int^5_5f(x)dx=-4$ $\int^2_1f(x)dx=7.$ thì giá trị của $\int^2_{f(x)dx}$ là bao nhiêu? A. -11. B. -5. C. 5. D. 3. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Trước tiên, ta cần kiểm tra lại đề bài vì có một số lỗi trong ký hiệu. Ta sẽ giả sử rằng đề bài muốn hỏi giá trị của $\int^2_1 f(x) dx$ dựa trên thông tin đã cho. Ta có: \[ \int^5_5 f(x) dx = -4 \] \[ \int^2_1 f(x) dx = 7 \] Tuy nhiên, ta thấy rằng $\int^5_5 f(x) dx$ là tích phân từ 5 đến 5, tức là trên một khoảng có độ dài bằng không. Do đó, tích phân này luôn bằng 0, không thể bằng -4. Điều này cho thấy có thể có lỗi trong đề bài. Giả sử đề bài muốn hỏi giá trị của $\int^2_1 f(x) dx$, ta đã biết: \[ \int^2_1 f(x) dx = 7 \] Vậy giá trị của $\int^2_1 f(x) dx$ là 7. Do đó, đáp án đúng là: D. 3 Tuy nhiên, nếu đề bài có lỗi và thực sự muốn hỏi giá trị của $\int^2_1 f(x) dx$, thì đáp án đúng là 7. Đáp án: 7 Câu 7. Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 5^x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = 4 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định cận trên và cận dưới của tích phân: - Cận dưới là \( x = 0 \). - Cận trên là \( x = 4 \). 2. Tích phân hàm số \( y = 5^x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \): \[ S = \int_{0}^{4} 5^x \, dx \] 3. Tính tích phân: - Ta biết rằng \(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C\) với \(a > 0\) và \(a \neq 1\). - Áp dụng vào bài toán: \[ \int 5^x \, dx = \frac{5^x}{\ln(5)} \] - Tính giá trị tại các cận: \[ S = \left[ \frac{5^x}{\ln(5)} \right]_{0}^{4} \] \[ S = \frac{5^4}{\ln(5)} - \frac{5^0}{\ln(5)} \] \[ S = \frac{625}{\ln(5)} - \frac{1}{\ln(5)} \] \[ S = \frac{624}{\ln(5)} \] Như vậy, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 5^x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = 4 \) là: \[ S = \int_{0}^{4} 5^x \, dx \] Trong các lựa chọn đã cho, chỉ có đáp án D đúng là: D. \( S = \int_{0}^{4} 5^x \, dx \) Đáp án: D. \( S = \int_{0}^{4} 5^x \, dx \) Câu 8. Để viết công thức tính thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục Ox và hai đường thẳng \( x = m \) và \( x = n \) (với \( m < n \)), xung quanh trục Ox, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phần diện tích cần quay: - Phần diện tích cần quay là phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục Ox, và hai đường thẳng \( x = m \) và \( x = n \). 2. Tính thể tích khối tròn xoay: - Khi quay một hình phẳng xung quanh một trục, thể tích của khối tròn xoay được tạo ra có thể được tính bằng phương pháp cắt lát hoặc phương pháp vỏ trụ. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cắt lát. 3. Phương pháp cắt lát: - Ta chia đoạn \( [m, n] \) thành các khoảng nhỏ \( \Delta x \). Mỗi khoảng nhỏ này sẽ tạo ra một hình trụ mỏng khi quay xung quanh trục Ox. - Diện tích đáy của mỗi hình trụ mỏng là \( \pi [f(x)]^2 \). - Thể tích của mỗi hình trụ mỏng là \( \pi [f(x)]^2 \Delta x \). 4. Tích phân để tính tổng thể tích: - Để tính tổng thể tích của tất cả các hình trụ mỏng này, ta thực hiện tích phân từ \( m \) đến \( n \): \[ V = \int_{m}^{n} \pi [f(x)]^2 \, dx \] 5. Kết luận: - Công thức tính thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục Ox và hai đường thẳng \( x = m \) và \( x = n \) (với \( m < n \)), xung quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{m}^{n} [f(x)]^2 \, dx \] Đáp số: \[ V = \pi \int_{m}^{n} [f(x)]^2 \, dx \]