giải giúp mình với ạ Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (s) có tâm,$I(0;0;-3)$ và đi qua điểm $M(4;0;0).$ Phương trình của (s) là,$A.~x^2+y^2+(z+3)^2=25.$ $B.~x^2+y^2+(z+3)^2=5.$,$C.~x^2+y^2+(z-3)^2=25.$ $D.~x^2+y^2+(z-3)^2=5.$,Câu 2. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm $I(1;1;1)$ và,$A(1;2;3).$ Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là,$A.~(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=5$ $B.~(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=29$,$C.~(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=5$ $D.~(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=25$,Câu 3. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,, cho hai,điểm $A(1;-2;7),~B(-3;8;-1).$ Mặt cầu đường kính AB có phương trình là,$A.~(x+1)^2+(y-3)^2+(z-3)^2=\sqrt{45}.$ $B.~(x-1)^2+(y+3)^2+(z+3)^2=45.$,$C.~(x-1)^2+(y-3)^2+(z+3)^2=\sqrt{45}.$ $D.~(x+1)^2+(y-3)^2+(z-3)^2=45.$,Câu 4. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,,viết phương trình mặt cầu có tâm $I(1;-4;3)$ và đi qua điểm $A(5;-3;2).$,$A.~(x-1)^2+(y-4)^2+(z-3)^2=18.$ $B.~(x-1)^2+(y-4)^2+(z-3)^2=16.$,$C.~(x-1)^2+(y+4)^2+(z-3)^2=16.$ $D.~(x-1)^2+(y+4)^2+(z-3)^2=18.$,Câu 5. (Chuyên Sơn La -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $A(1;1;1)$ và,$B(1;-1;3).$ Phương trình mặt cầu có đường kính AB là,Trang 5

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 1.
Để tìm phương trình của mặt cầu (s) có tâm $I(0;0;-3)$ và đi qua điểm $M(4;0;0)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính bán kính của mặt cầu.
- Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm $I$ đến điểm $M$.
- Ta tính khoảng cách giữa hai điểm $I(0;0;-3)$ và $M(4;0;0)$:
$$ 
IM = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.
$$

Bước 2: Viết phương trình của mặt cầu.
- Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm $(a, b, c)$ và bán kính $r$ là:
$$ 
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2.
$$
- Thay tâm $I(0;0;-3)$ và bán kính $r = 5$ vào phương trình trên:
$$ 
(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - (-3))^2 = 5^2,
$$
$$ 
x^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 25.
$$

Vậy phương trình của mặt cầu (s) là:
$$ 
x^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 25.
$$

Do đó, đáp án đúng là:
A. $x^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 25$.

Câu 2.
Để tìm phương trình mặt cầu có tâm $ I(1;1;1) $ và đi qua điểm $ A(1;2;3) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính bán kính của mặt cầu:
   Bán kính $ R $ của mặt cầu là khoảng cách từ tâm $ I $ đến điểm $ A $.

Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
   $$
   R = IA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}
   $$

2. Viết phương trình mặt cầu:
   Phương trình mặt cầu có tâm $ (a, b, c) $ và bán kính $ R $ là:
   $$
   (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
   $$
   Với tâm $ I(1;1;1) $ và bán kính $ R = \sqrt{5} $, ta có:
   $$
   (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{5})^2
   $$
   $$
   (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 5
   $$

Vậy phương trình mặt cầu là:
$$
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 5
$$

Đáp án đúng là: C. $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 5$

Câu 3.
Để tìm phương trình mặt cầu đường kính AB, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB:
   - Tọa độ của điểm A là $(1, -2, 7)$.
   - Tọa độ của điểm B là $(-3, 8, -1)$.
   - Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ:
     $$
     I\left(\frac{1 + (-3)}{2}, \frac{-2 + 8}{2}, \frac{7 + (-1)}{2}\right) = I\left(\frac{-2}{2}, \frac{6}{2}, \frac{6}{2}\right) = I(-1, 3, 3)
     $$

2. Tính bán kính R của mặt cầu:
   - Bán kính R là khoảng cách từ trung điểm I đến một trong hai điểm A hoặc B.
   - Ta tính khoảng cách từ I đến A:
     $$
     R = IA = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 3)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + (-2 - 3)^2 + (7 - 3)^2}
     $$
     $$
     R = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 25 + 16} = \sqrt{45}
     $$

3. Viết phương trình mặt cầu:
   - Phương trình mặt cầu có tâm tại I và bán kính R là:
     $$
     (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = (\sqrt{45})^2
     $$
     $$
     (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 45
     $$

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là:
$$ 
(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 45 
$$

Đáp án đúng là: D.~(x+1)^2+(y-3)^2+(z-3)^2=45.

Câu 4.
Để viết phương trình mặt cầu có tâm $ I(1, -4, 3) $ và đi qua điểm $ A(5, -3, 2) $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính bán kính $ R $ của mặt cầu.
Bán kính $ R $ là khoảng cách từ tâm $ I $ đến điểm $ A $.

$$
R = IA = \sqrt{(5 - 1)^2 + (-3 + 4)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18}
$$

Bước 2: Viết phương trình mặt cầu.
Phương trình mặt cầu có tâm $ I(a, b, c) $ và bán kính $ R $ là:

$$
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
$$

Áp dụng vào bài toán, ta có tâm $ I(1, -4, 3) $ và bán kính $ R = \sqrt{18} $:

$$
(x - 1)^2 + (y + 4)^2 + (z - 3)^2 = (\sqrt{18})^2
$$

$$
(x - 1)^2 + (y + 4)^2 + (z - 3)^2 = 18
$$

Vậy phương trình mặt cầu là:

$$
(x - 1)^2 + (y + 4)^2 + (z - 3)^2 = 18
$$

Đáp án đúng là: D. $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 + (z - 3)^2 = 18$

Câu 5.
Để tìm phương trình mặt cầu có đường kính AB, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ:
$$ I\left(\frac{1+1}{2}; \frac{1-1}{2}; \frac{1+3}{2}\right) = I(1; 0; 2) $$

Bước 2: Tính bán kính R của mặt cầu.
Bán kính R là khoảng cách từ trung điểm I đến một trong hai điểm A hoặc B. Ta tính khoảng cách từ I đến A:
$$ R = IA = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} $$

Bước 3: Viết phương trình mặt cầu.
Phương trình mặt cầu có tâm I(1; 0; 2) và bán kính R = $\sqrt{2}$ là:
$$ (x-1)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 2 $$

Vậy phương trình mặt cầu có đường kính AB là:
$$ (x-1)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 2 $$