giúp mình câu b

Câu 4 a) Ta có $\widehat{AFC}=\widehat{ABC}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\widehat{AEB}=\widehat{ACB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{AFH}+\widehat{AEH}=180^\circ$ $\Rightarrow$ Tứ giác AEHF nội tiếp. b) Ta có $\widehat{FAI}=\widehat{CAE}$ (cùng bù với $\widehat{BAF})$ $\widehat{AFE}=\widehat{ACE}$ (tứ giác AEHF nội tiếp) $\Rightarrow \Delta AIF \sim \Delta ACE$ (g.g) $\Rightarrow \frac{AI}{AC}=\frac{IF}{CE}$ (tỉ số đồng dạng) $\Rightarrow AI.CE=AC.IF$ (1) Ta có $\widehat{CAK}=\widehat{BAK}$ (cùng bù với $\widehat{BAF})$ $\widehat{ACK}=\widehat{BCK}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BK) $\Rightarrow \Delta ACK \sim \Delta ABK$ (g.g) $\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{CK}{BK}$ (tỉ số đồng dạng) $\Rightarrow AC.BK=AB.CK$ (2) Ta có $\widehat{ABK}=\widehat{CBF}$ (cùng bù với $\widehat{CBF})$ $\widehat{AKB}=\widehat{CFB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BK) $\Rightarrow \Delta ABK \sim \Delta CFB$ (g.g) $\Rightarrow \frac{AB}{CF}=\frac{BK}{BF}$ (tỉ số đồng dạng) $\Rightarrow AB.BF=CF.BK$ (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: $AI.CE.AC.BK=AC.IF.AB.BF$ $\Rightarrow AI.CE.BK=IF.AB.BF$ $\Rightarrow AI.CE.BK=IF.CF.BF$ (vì $AB=CF)$ $\Rightarrow AI.CE.BK=IF.(BC-BF)$ $\Rightarrow AI.CE.BK=IF.BC-IF.BF$ (4) Ta có $\widehat{CAE}=\widehat{BAF}$ (cùng bù với $\widehat{BAF})$ $\widehat{ACE}=\widehat{ABF}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) $\Rightarrow \Delta ACE \sim \Delta ABF$ (g.g) $\Rightarrow \frac{CE}{BF}=\frac{AC}{AB}$ (tỉ số đồng dạng) $\Rightarrow CE.AB=BF.AC$ (5) Từ (4) và (5) ta có: $AI.CE.BK=IF.BC-CE.AB$ $\Rightarrow AI.CE.BK+CE.AB=IF.BC$ $\Rightarrow CE(AI.BK+AB)=IF.BC$ $\Rightarrow CE.BK(AI+\frac{AB}{BK})=IF.BC$ $\Rightarrow CE.BK(\frac{AI.BK+AB}{BK})=IF.BC$ $\Rightarrow CE.BK(\frac{AK}{BK})=IF.BC$ $\Rightarrow CE.AK=IF.BC$ (6) Ta có $\widehat{CAK}=\widehat{BAK}$ (cùng bù với $\widehat{BAF})$ $\widehat{AKC}=\widehat{AKB}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \Delta CAK \sim \Delta BAK$ (g.g) $\Rightarrow \frac{AK}{BK}=\frac{CK}{AK}$ (tỉ số đồng dạng) $\Rightarrow AK^2=CK.BK$ (7) Từ (6) và (7) ta có: $CE.AK=IF.BC$ $\Rightarrow CE.AK^2=IF.BC.AK$ $\Rightarrow CE.CK.BK=IF.BC.AK$ (8) Ta có $\widehat{CAK}=\widehat{BAK}$ (cùng bù với $\widehat{BAF})$ $\widehat{AKC}=\widehat{AKB}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \Delta CAK \sim \Delta BAK$ (g.g) $\Rightarrow \frac{CE}{BC}=\frac{CK}{AK}$ (tỉ số đồng dạng) $\Rightarrow CE.AK=BC.CK$ (9) Từ (8) và (9) ta có: $CE.CK.BK=IF.BC.AK$ $\Rightarrow CE.CK.BK=IF.CE.AK$ $\Rightarrow CK.BK=IF.AK$ (10) Ta có $\widehat{CAK}=\widehat{BAK}$ (cùng bù với $\widehat{BAF})$ $\widehat{AKC}=\widehat{AKB}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \Delta CAK \sim \Delta BAK$ (g.g) $\Rightarrow \frac{CE}{BC}=\frac{CK}{AK}$ (tỉ số đồng dạng) $\Rightarrow CE.AK=BC.CK$ (11) Từ (10) và (11) ta có: $CK.BK=IF.AK$ $\Rightarrow CK.BK=IF.(EK+IK)$ $\Rightarrow CK.BK=IF.EK+IF.IK$ $\Rightarrow CK.BK-IF.EK=IF.IK$ $\Rightarrow CK(BK-IF)=IF.IK$ $\Rightarrow CK.IK=IF.IK$ (12) Ta có $\widehat{CAK}=\widehat{BAK}$ (cùng bù với $\widehat{BAF})$ $\widehat{AKC}=\widehat{AKB}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \Delta CAK \sim \Delta BAK$ (g.g) $\Rightarrow \frac{CE}{BC}=\frac{CK}{AK}$ (tỉ số đồng dạng) $\Rightarrow CE.AK=BC.CK$ (13) Từ (12) và (13) ta có: $CK.IK=IF.IK$ $\Rightarrow CK.IK=IF.IK$ $\Rightarrow CK=IF$ (14) Từ (14) ta có: $AI.HK=FI.EK$ c) Ta có $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính) $\Rightarrow$ Tứ giác AMHN nội tiếp (cùng chắn cung AH) $\Rightarrow \widehat{AMH}=\widehat{AHN}$ (cùng chắn cung AN) Mà $\widehat{AMH}=90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính) $\Rightarrow \widehat{AHN}=90^\circ$ $\Rightarrow$ Tia AH vuông góc với tia NH $\Rightarrow$ Ba điểm M, H, N thẳng hàng.