help help help

Câu 1. Để tính $f(2) - f(0)$, ta cần tìm $f(2)$ và $f(0)$ trước. Ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tìm $f(x)$ từ $f'(x)$. Trước tiên, ta tính $f(x)$ trên mỗi khoảng: 1. Tính $f(x)$ khi $x < 1$: \[ f'(x) = 4 - 3x^2 \] Tích phân: \[ f(x) = \int (4 - 3x^2) \, dx = 4x - x^3 + C_1 \] 2. Tính $f(x)$ khi $x \geq 1$: \[ f'(x) = 1 \] Tích phân: \[ f(x) = \int 1 \, dx = x + C_2 \] Bây giờ, ta cần xác định các hằng số $C_1$ và $C_2$. Vì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, nên tại điểm $x = 1$, hai phần của hàm số phải liên tục với nhau: \[ f(1) = 4 \cdot 1 - 1^3 + C_1 = 1 + C_2 \] \[ 4 - 1 + C_1 = 1 + C_2 \] \[ 3 + C_1 = 1 + C_2 \] \[ C_1 = C_2 - 2 \] Ta có thể chọn $C_2 = 0$ để đơn giản hóa, vậy $C_1 = -2$. Do đó: \[ f(x) = \begin{cases} 4x - x^3 - 2 & \text{ nếu } x < 1 \\ x & \text{ nếu } x \geq 1 \end{cases} \] Tiếp theo, ta tính $f(2)$ và $f(0)$: \[ f(2) = 2 \quad (\text{vì } 2 \geq 1) \] \[ f(0) = 4 \cdot 0 - 0^3 - 2 = -2 \quad (\text{vì } 0 < 1) \] Cuối cùng, ta tính $f(2) - f(0)$: \[ f(2) - f(0) = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4 \] Vậy, $f(2) - f(0) = 4$. Câu 2. Khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x) = x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ và $x = 2$ quay quanh trục Ox, ta sẽ tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ quay quanh trục Ox được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, $f(x) = x$, $a = 1$, và $b = 2$. Do đó, ta có: \[ V = \pi \int_{1}^{2} x^2 \, dx \] Bây giờ, ta tính tích phân $\int_{1}^{2} x^2 \, dx$: \[ \int_{1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \] \[ = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \] \[ = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \] \[ = \frac{7}{3} \] Vậy thể tích của khối tròn xoay là: \[ V = \pi \cdot \frac{7}{3} = \frac{7\pi}{3} \] Đáp số: $\frac{7\pi}{3}$ Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. 2. Xác định phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P). 3. Tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (P) để xác định tọa độ điểm M. 4. Tính giá trị của \(a + b + c\). Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: \[ I = \left( \frac{-1 + 3}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{3 - 1}{2} \right) = (1, 1, 1) \] Bước 2: Xác định phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P). Phương pháp vuông góc của mặt phẳng (P) là \((1, -2, 2)\). Đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \] Bước 3: Tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (P) để xác định tọa độ điểm M. Thay phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng (P): \[ (1 + t) - 2(1 - 2t) + 2(1 + 2t) + 8 = 0 \] \[ 1 + t - 2 + 4t + 2 + 4t + 8 = 0 \] \[ 9t + 9 = 0 \] \[ t = -1 \] Thay \( t = -1 \) vào phương trình tham số: \[ x = 1 - 1 = 0 \] \[ y = 1 - 2(-1) = 3 \] \[ z = 1 + 2(-1) = -1 \] Vậy tọa độ điểm M là \( (0, 3, -1) \). Bước 4: Tính giá trị của \(a + b + c\). \[ a + b + c = 0 + 3 - 1 = 2 \] Đáp số: \(a + b + c = 2\).