Giải chi tiết

Câu 2. a) Đúng vì $\overrightarrow{n_1}=(0;1;0)$ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P): y=0$. b) Sai vì $\overrightarrow{n_2}=(\sqrt{3};-1;0)$ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q): \sqrt{3}x - y - 2026 = 0$. c) Sai vì $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (0;1;0) \cdot (\sqrt{3};-1;0) = 0 \times \sqrt{3} + 1 \times (-1) + 0 \times 0 = -1$. d) Đúng vì góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng góc giữa hai véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$. Công thức tính góc giữa hai véctơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} \] Tính $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}$: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = -1 \] Tính $|\overrightarrow{n_1}|$: \[ |\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \] Tính $|\overrightarrow{n_2}|$: \[ |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{-1}{1 \times 2} = -\frac{1}{2} \] Góc $\theta$ là: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \] Góc giữa hai mặt phẳng là: \[ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] Vậy đáp án đúng là d) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng $60^\circ$. Câu 1. Để tìm độ cao cao nhất của viên đạn, ta cần xác định thời điểm mà vận tốc của viên đạn bằng không (vì khi đó viên đạn đạt đỉnh cao nhất trước khi rơi xuống). Bước 1: Xác định thời điểm vận tốc bằng không. \[ v(t) = 150 - 9,8t \] Đặt \( v(t) = 0 \): \[ 150 - 9,8t = 0 \] \[ 9,8t = 150 \] \[ t = \frac{150}{9,8} \approx 15,31 \text{ giây} \] Bước 2: Tính độ cao của viên đạn tại thời điểm này. Độ cao \( h(t) \) của viên đạn được tính bằng cách tích phân vận tốc theo thời gian: \[ h(t) = \int v(t) \, dt = \int (150 - 9,8t) \, dt \] \[ h(t) = 150t - 4,9t^2 + C \] Vì ban đầu (t = 0), độ cao là 0, nên hằng số \( C = 0 \): \[ h(t) = 150t - 4,9t^2 \] Thay \( t = 15,31 \) vào: \[ h(15,31) = 150 \times 15,31 - 4,9 \times (15,31)^2 \] \[ h(15,31) = 2296,5 - 4,9 \times 234,3961 \] \[ h(15,31) = 2296,5 - 1148,54 \] \[ h(15,31) \approx 1148 \text{ mét} \] Vậy độ cao cao nhất của viên đạn là khoảng 1148 mét. Câu 2. Trước hết, ta cần tìm vị trí của chất điểm A sau 23 giây (vì B xuất phát chậm hơn 10 giây và sau 13 giây B đuổi kịp A, tức là sau 23 giây kể từ khi A xuất phát). Vận tốc của A theo thời gian là: \[ v_A(t) = \frac{1}{100}t^2 + \frac{13}{30}t \] Quãng đường A đi được sau 23 giây là: \[ s_A = \int_{0}^{23} v_A(t) \, dt = \int_{0}^{23} \left( \frac{1}{100}t^2 + \frac{13}{30}t \right) \, dt \] \[ s_A = \left[ \frac{1}{300}t^3 + \frac{13}{60}t^2 \right]_{0}^{23} \] \[ s_A = \left( \frac{1}{300}(23)^3 + \frac{13}{60}(23)^2 \right) - \left( \frac{1}{300}(0)^3 + \frac{13}{60}(0)^2 \right) \] \[ s_A = \frac{1}{300}(12167) + \frac{13}{60}(529) \] \[ s_A = \frac{12167}{300} + \frac{6877}{60} \] \[ s_A = \frac{12167}{300} + \frac{34385}{300} \] \[ s_A = \frac{46552}{300} \] \[ s_A = \frac{23276}{150} \] \[ s_A = \frac{11638}{75} \] \[ s_A = 155.1733 \text{ m} \] Bây giờ, ta cần tìm vận tốc của B sau 13 giây. Vì B xuất phát từ trạng thái nghỉ và có gia tốc là \(a\), nên vận tốc của B sau 13 giây là: \[ v_B = at \] \[ v_B = a \times 13 \] Quãng đường B đi được sau 13 giây là: \[ s_B = \frac{1}{2}at^2 \] \[ s_B = \frac{1}{2}a(13)^2 \] \[ s_B = \frac{1}{2}a \times 169 \] \[ s_B = 84.5a \] Vì B đuổi kịp A sau 13 giây, nên quãng đường B đi được bằng quãng đường A đi được: \[ 84.5a = 155.1733 \] \[ a = \frac{155.1733}{84.5} \] \[ a = 1.836 \text{ m/s}^2 \] Vận tốc của B khi đuổi kịp A là: \[ v_B = 1.836 \times 13 \] \[ v_B = 23.868 \text{ m/s} \] Đáp số: Vận tốc của B khi đuổi kịp A là 23.868 m/s. Câu 3. Để tính quảng đường S người đó chạy được trong 1 giờ 45 phút, ta cần biết vận tốc v(t) theo thời gian t. Từ đồ thị, ta thấy vận tốc v(t) là một hàm bậc hai với đỉnh I(1;5) và trục đối xứng song song với trục tung Ov. Bước 1: Xác định phương trình của hàm số vận tốc v(t). Vì hàm số có dạng bậc hai và đỉnh là I(1;5), ta có thể viết phương trình dưới dạng: \[ v(t) = a(t - 1)^2 + 5 \] Ta cần xác định giá trị của \(a\). Từ đồ thị, ta thấy khi \(t = 0\), \(v(0) = 0\): \[ 0 = a(0 - 1)^2 + 5 \] \[ 0 = a + 5 \] \[ a = -5 \] Vậy phương trình của hàm số vận tốc là: \[ v(t) = -5(t - 1)^2 + 5 \] Bước 2: Tính quảng đường S người đó chạy được trong 1 giờ 45 phút (từ \(t = 0\) đến \(t = 1,75\)). Quảng đường S được tính bằng tích phân của vận tốc v(t) theo thời gian t từ 0 đến 1,75: \[ S = \int_{0}^{1,75} v(t) \, dt \] \[ S = \int_{0}^{1,75} (-5(t - 1)^2 + 5) \, dt \] Ta thực hiện tích phân từng phần: \[ S = \int_{0}^{1,75} -5(t - 1)^2 \, dt + \int_{0}^{1,75} 5 \, dt \] Tích phân đầu tiên: \[ \int_{0}^{1,75} -5(t - 1)^2 \, dt = -5 \int_{0}^{1,75} (t - 1)^2 \, dt \] \[ = -5 \left[ \frac{(t - 1)^3}{3} \right]_{0}^{1,75} \] \[ = -5 \left( \frac{(1,75 - 1)^3}{3} - \frac{(0 - 1)^3}{3} \right) \] \[ = -5 \left( \frac{0,75^3}{3} - \frac{-1^3}{3} \right) \] \[ = -5 \left( \frac{0,421875}{3} + \frac{1}{3} \right) \] \[ = -5 \left( \frac{0,421875 + 1}{3} \right) \] \[ = -5 \left( \frac{1,421875}{3} \right) \] \[ = -5 \times 0,473958333 \] \[ = -2,369791665 \] Tích phân thứ hai: \[ \int_{0}^{1,75} 5 \, dt = 5 \left[ t \right]_{0}^{1,75} \] \[ = 5 \times (1,75 - 0) \] \[ = 5 \times 1,75 \] \[ = 8,75 \] Vậy tổng quảng đường S: \[ S = -2,369791665 + 8,75 \] \[ S = 6,380208335 \] Kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân: \[ S \approx 6,38 \text{ km} \] Đáp số: 6,38 km.