trả lời ngắn

Câu 50. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định phương trình của parabol (P) và sau đó tìm điều kiện để đường thẳng \(d\) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. 1. Xác định phương trình của parabol (P): - Parabol có tiêu điểm \(F(1;0)\). Ta biết rằng tiêu điểm của parabol \(y^2 = 4ax\) là \((a, 0)\). Do đó, \(a = 1\). - Phương trình của parabol là \(y^2 = 4x\). 2. Xác định phương trình của đường thẳng \(d\): - Đường thẳng \(d\) có phương trình \(x + 6m = 0\), tức là \(x = -6m\). 3. Tìm giao điểm của parabol (P) và đường thẳng \(d\): - Thay \(x = -6m\) vào phương trình của parabol \(y^2 = 4x\): \[ y^2 = 4(-6m) \implies y^2 = -24m \] - Để có hai giao điểm phân biệt, phương trình \(y^2 = -24m\) phải có hai nghiệm thực khác nhau. Điều này xảy ra khi \(-24m > 0\), tức là \(m < 0\). 4. Xác định các giá trị nguyên của \(m\) trong khoảng \([-10; 10]\): - Các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn \(m < 0\) trong khoảng \([-10; 10]\) là: \(-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1\). 5. Đếm số giá trị nguyên của \(m\): - Số giá trị nguyên của \(m\) là 10. Vậy, có 10 giá trị nguyên của \(m\) trong khoảng \([-10; 10]\) để parabol (P) và đường thẳng \(d\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Đáp số: 10 Câu 51. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiêu điểm của parabol \( y^2 = 2x \). 2. Viết phương trình khoảng cách từ một điểm trên parabol đến tiêu điểm. 3. Giải phương trình để tìm các điểm thỏa mãn điều kiện. Bước 1: Xác định tiêu điểm của parabol \( y^2 = 2x \). Parabol \( y^2 = 2x \) có tiêu điểm nằm tại \( F \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \). Bước 2: Viết phương trình khoảng cách từ một điểm trên parabol đến tiêu điểm. Gọi \( M(x, y) \) là một điểm thuộc parabol \( y^2 = 2x \). Khoảng cách từ điểm \( M \) đến tiêu điểm \( F \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \) là: \[ MF = \sqrt{\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + y^2} \] Theo đề bài, khoảng cách này bằng 4: \[ \sqrt{\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + y^2} = 4 \] Bước 3: Thay \( y^2 = 2x \) vào phương trình trên: \[ \sqrt{\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + 2x} = 4 \] Bình phương cả hai vế: \[ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + 2x = 16 \] \[ x^2 - x + \frac{1}{4} + 2x = 16 \] \[ x^2 + x + \frac{1}{4} = 16 \] \[ x^2 + x + \frac{1}{4} - 16 = 0 \] \[ x^2 + x - \frac{63}{4} = 0 \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ phân số: \[ 4x^2 + 4x - 63 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-63)}}{2 \cdot 4} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 1008}}{8} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{1024}}{8} \] \[ x = \frac{-4 \pm 32}{8} \] \[ x = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-36}{8} = -\frac{9}{2} \] Vì yêu cầu hoành độ dương, ta chỉ lấy \( x = \frac{7}{2} \). Thay \( x = \frac{7}{2} \) vào \( y^2 = 2x \): \[ y^2 = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7 \] \[ y = \sqrt{7} \quad \text{hoặc} \quad y = -\sqrt{7} \] Vậy có hai điểm \( \left( \frac{7}{2}, \sqrt{7} \right) \) và \( \left( \frac{7}{2}, -\sqrt{7} \right) \) thỏa mãn điều kiện. Đáp số: 2 điểm. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiêu điểm của elip. 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và các tiêu điểm. 3. Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng. 4. Giải phương trình để tìm tọa độ của điểm M. Bước 1: Xác định tiêu điểm của elip Elip có phương trình $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. Ta có: - $a^2 = 25$, suy ra $a = 5$ - $b^2 = 9$, suy ra $b = 3$ Tiêu cự $c$ của elip được tính bằng công thức $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$. Vậy hai tiêu điểm của elip là $F_1(-4, 0)$ và $F_2(4, 0)$. Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và các tiêu điểm Gọi tọa độ của điểm M là $(x_M, y_M)$. Ta có: - Phương trình đường thẳng đi qua M và $F_1$: $\frac{y - 0}{y_M - 0} = \frac{x + 4}{x_M + 4}$ - Phương trình đường thẳng đi qua M và $F_2$: $\frac{y - 0}{y_M - 0} = \frac{x - 4}{x_M - 4}$ Bước 3: Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| \] Trong đó, $m_1$ và $m_2$ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng. Hệ số góc của đường thẳng đi qua M và $F_1$ là: \[ m_1 = \frac{y_M}{x_M + 4} \] Hệ số góc của đường thẳng đi qua M và $F_2$ là: \[ m_2 = \frac{y_M}{x_M - 4} \] Áp dụng công thức tính góc: \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} = \left| \frac{\frac{y_M}{x_M + 4} - \frac{y_M}{x_M - 4}}{1 + \frac{y_M}{x_M + 4} \cdot \frac{y_M}{x_M - 4}} \right| \] Bước 4: Giải phương trình để tìm tọa độ của điểm M Simplifying the equation: \[ \sqrt{3} = \left| \frac{\frac{y_M (x_M - 4) - y_M (x_M + 4)}{(x_M + 4)(x_M - 4)}}{1 + \frac{y_M^2}{(x_M + 4)(x_M - 4)}} \right| \] \[ \sqrt{3} = \left| \frac{\frac{-8y_M}{x_M^2 - 16}}{1 + \frac{y_M^2}{x_M^2 - 16}} \right| \] \[ \sqrt{3} = \left| \frac{-8y_M}{x_M^2 - 16 + y_M^2} \right| \] Do $M$ nằm trên elip, ta có: \[ \frac{x_M^2}{25} + \frac{y_M^2}{9} = 1 \] \[ y_M^2 = 9 \left(1 - \frac{x_M^2}{25}\right) \] Thay vào phương trình: \[ \sqrt{3} = \left| \frac{-8y_M}{x_M^2 - 16 + 9 \left(1 - \frac{x_M^2}{25}\right)} \right| \] \[ \sqrt{3} = \left| \frac{-8y_M}{x_M^2 - 16 + 9 - \frac{9x_M^2}{25}} \right| \] \[ \sqrt{3} = \left| \frac{-8y_M}{x_M^2 - 7 - \frac{9x_M^2}{25}} \right| \] \[ \sqrt{3} = \left| \frac{-8y_M}{\frac{25x_M^2 - 175 - 9x_M^2}{25}} \right| \] \[ \sqrt{3} = \left| \frac{-8y_M}{\frac{16x_M^2 - 175}{25}} \right| \] \[ \sqrt{3} = \left| \frac{-200y_M}{16x_M^2 - 175} \right| \] Giải phương trình này để tìm $x_M$ và $y_M$. Kết quả cuối cùng là: \[ M \left( \frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} \right) \] Đáp số: \[ \left( \frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} \right) \] Câu 53. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của hai tiêu điểm của hypebol (H). 2. Xác định điều kiện để điểm N nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. 3. Tìm các điểm N thỏa mãn điều kiện trên. Bước 1: Xác định tọa độ của hai tiêu điểm của hypebol (H). Phương trình của hypebol (H) là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$. Trong đó, $a^2 = 16$ và $b^2 = 9$, suy ra $a = 4$ và $b = 3$. Tiêu cự của hypebol là $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$. Vậy hai tiêu điểm của hypebol (H) là $F_1(-5, 0)$ và $F_2(5, 0)$. Bước 2: Xác định điều kiện để điểm N nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Gọi tọa độ của điểm N là $(x, y)$. Để điểm N nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, vectơ $\overrightarrow{NF_1}$ và vectơ $\overrightarrow{NF_2}$ phải vuông góc với nhau. $\overrightarrow{NF_1} = (-5 - x, -y)$ và $\overrightarrow{NF_2} = (5 - x, -y)$. Điều kiện để hai vectơ vuông góc là tích vô hướng của chúng bằng 0: $(-5 - x)(5 - x) + (-y)(-y) = 0$ $(x + 5)(x - 5) + y^2 = 0$ $x^2 - 25 + y^2 = 0$ $x^2 + y^2 = 25$ Bước 3: Tìm các điểm N thỏa mãn điều kiện trên. Điểm N phải nằm trên hypebol (H) và thỏa mãn phương trình $x^2 + y^2 = 25$. Thay $x^2 = 16 + \frac{16}{9}y^2$ vào phương trình $x^2 + y^2 = 25$: $16 + \frac{16}{9}y^2 + y^2 = 25$ $\frac{25}{9}y^2 = 9$ $y^2 = \frac{81}{25}$ $y = \pm \frac{9}{5}$ Vì yêu cầu tung độ lớn hơn 1, nên chỉ lấy $y = \frac{9}{5}$. Thay $y = \frac{9}{5}$ vào phương trình $x^2 + y^2 = 25$: $x^2 + \left(\frac{9}{5}\right)^2 = 25$ $x^2 + \frac{81}{25} = 25$ $x^2 = 25 - \frac{81}{25}$ $x^2 = \frac{625 - 81}{25}$ $x^2 = \frac{544}{25}$ $x = \pm \frac{\sqrt{544}}{5}$ Vậy có hai điểm N thỏa mãn điều kiện là $\left(\frac{\sqrt{544}}{5}, \frac{9}{5}\right)$ và $\left(-\frac{\sqrt{544}}{5}, \frac{9}{5}\right)$. Đáp số: 2 điểm. Câu 54. Để tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm \(M\) trên đường elip \((E)\) đến gốc tọa độ \(O\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm \(M\): Điểm \(M\) nằm trên đường elip \((E)\) có phương trình: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \] Ta có thể viết tọa độ của điểm \(M\) dưới dạng \((x, y)\). 2. Tính khoảng cách \(OM\): Khoảng cách từ điểm \(M(x, y)\) đến gốc tọa độ \(O(0, 0)\) là: \[ OM = \sqrt{x^2 + y^2} \] 3. Biểu diễn \(y^2\) theo \(x^2\): Từ phương trình của đường elip, ta có: \[ \frac{y^2}{16} = 1 - \frac{x^2}{25} \] Nhân cả hai vế với 16: \[ y^2 = 16 \left(1 - \frac{x^2}{25}\right) \] \[ y^2 = 16 - \frac{16x^2}{25} \] 4. Thay \(y^2\) vào biểu thức \(OM\): \[ OM = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + 16 - \frac{16x^2}{25}} \] \[ OM = \sqrt{x^2 + 16 - \frac{16x^2}{25}} = \sqrt{\frac{25x^2}{25} + 16 - \frac{16x^2}{25}} \] \[ OM = \sqrt{\frac{25x^2 - 16x^2}{25} + 16} = \sqrt{\frac{9x^2}{25} + 16} \] \[ OM = \sqrt{\frac{9x^2 + 400}{25}} = \frac{\sqrt{9x^2 + 400}}{5} \] 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(OM\): - Giá trị lớn nhất của \(OM\): Để \(OM\) đạt giá trị lớn nhất, \(x^2\) phải đạt giá trị lớn nhất trong phạm vi cho phép của đường elip, tức là \(x^2 = 25\): \[ OM_{max} = \frac{\sqrt{9 \cdot 25 + 400}}{5} = \frac{\sqrt{225 + 400}}{5} = \frac{\sqrt{625}}{5} = \frac{25}{5} = 5 \] - Giá trị nhỏ nhất của \(OM\): Để \(OM\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(x^2\) phải đạt giá trị nhỏ nhất trong phạm vi cho phép của đường elip, tức là \(x^2 = 0\): \[ OM_{min} = \frac{\sqrt{9 \cdot 0 + 400}}{5} = \frac{\sqrt{400}}{5} = \frac{20}{5} = 4 \] 6. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(OM\): \[ OM_{max} + OM_{min} = 5 + 4 = 9 \] Đáp số: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(OM\) là 9.