Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay với đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2 và 4 . Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay khi quay đường cong y= √x−1 quay quanh trục Ox....

Để tính thể tích của bình cắm hoa, ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích khối tròn xoay. Ta có thể chia bình thành hai phần: phần dưới là một hình trụ và phần trên là một phần của khối tròn xoay khi quay đường cong \( y = \sqrt{x} - 1 \) quanh trục Ox. Bước 1: Xác định các thông số - Đường kính đáy bình là 2, vậy bán kính đáy \( r_1 = 1 \). - Đường kính miệng bình là 4, vậy bán kính miệng \( r_2 = 2 \). Bước 2: Tính thể tích phần dưới (hình trụ) Phần dưới của bình là một hình trụ có chiều cao \( h_1 \) và bán kính đáy \( r_1 = 1 \). Ta cần xác định chiều cao \( h_1 \). Bước 3: Tính thể tích phần trên (khối tròn xoay) Phần trên của bình là một phần của khối tròn xoay khi quay đường cong \( y = \sqrt{x} - 1 \) quanh trục Ox từ \( x = 1 \) đến \( x = 4 \). Tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích \( V \) của khối tròn xoay khi quay một đường cong \( y = f(x) \) quanh trục Ox từ \( x = a \) đến \( x = b \) được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, \( f(x) = \sqrt{x} - 1 \), \( a = 1 \), và \( b = 4 \): \[ V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x} - 1)^2 \, dx \] Tính tích phân: \[ (\sqrt{x} - 1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1 \] \[ V = \pi \int_{1}^{4} (x - 2\sqrt{x} + 1) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_{1}^{4} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} = 8 - \frac{1}{2} = 7.5 \] \[ \int_{1}^{4} 2\sqrt{x} \, dx = 2 \int_{1}^{4} x^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{4} = 2 \left( \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 \right) = 2 \left( \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \right) = 2 \cdot \frac{14}{3} = \frac{28}{3} \approx 9.33 \] \[ \int_{1}^{4} 1 \, dx = [x]_{1}^{4} = 4 - 1 = 3 \] Gộp lại: \[ V = \pi \left( 7.5 - 9.33 + 3 \right) = \pi \left( 1.17 \right) \approx 3.67 \] Bước 4: Tính thể tích tổng cộng Thể tích tổng cộng của bình cắm hoa là tổng của thể tích phần dưới (hình trụ) và thể tích phần trên (khối tròn xoay). \[ V_{\text{tổng}} = V_{\text{trụ}} + V_{\text{xoay}} \] Vì chưa biết chiều cao \( h_1 \) của phần trụ, ta giả sử phần trụ có chiều cao \( h_1 = 1 \) (để đơn giản hóa): \[ V_{\text{trụ}} = \pi r_1^2 h_1 = \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \pi \approx 3.14 \] \[ V_{\text{tổng}} = 3.14 + 3.67 \approx 6.81 \] Kết luận Thể tích của bình cắm hoa đó là khoảng 6.8 (làm tròn đến hàng phần chục).