giải chi tiết ra với ạ

Câu 1. Để tìm độ dài trục thực, trục ảo và tiêu cự của hypebol \(4x^2 - 5y^2 = 20\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình hypebol dưới dạng chuẩn: Phương trình hypebol ban đầu là: \[ 4x^2 - 5y^2 = 20 \] Chia cả hai vế cho 20 để đưa về dạng chuẩn: \[ \frac{4x^2}{20} - \frac{5y^2}{20} = 1 \] Rút gọn các phân số: \[ \frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1 \] 2. Xác định các thông số của hypebol: So sánh với phương trình chuẩn của hypebol \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), ta nhận thấy: \[ a^2 = 5 \quad \text{và} \quad b^2 = 4 \] Do đó: \[ a = \sqrt{5} \quad \text{và} \quad b = 2 \] 3. Tính độ dài trục thực và trục ảo: - Độ dài trục thực là \(2a\): \[ 2a = 2 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \] - Độ dài trục ảo là \(2b\): \[ 2b = 2 \times 2 = 4 \] 4. Tính tiêu cự: Tiêu cự \(c\) của hypebol được tính bằng công thức: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] Thay các giá trị \(a^2\) và \(b^2\) vào: \[ c = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Kết luận: - Độ dài trục thực là \(2\sqrt{5}\) - Độ dài trục ảo là 4 - Tiêu cự là 3 Đáp số: - Độ dài trục thực: \(2\sqrt{5}\) - Độ dài trục ảo: 4 - Tiêu cự: 3 Câu 2. Để tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) của hypebol, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm \(M\): - Điểm \(M\) thuộc hypebol \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1\) và có hoành độ \(x = 12\). - Thay \(x = 12\) vào phương trình hypebol: \[ \frac{12^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1 \] \[ \frac{144}{9} - \frac{y^2}{7} = 1 \] \[ 16 - \frac{y^2}{7} = 1 \] \[ \frac{y^2}{7} = 15 \] \[ y^2 = 105 \] \[ y = \pm \sqrt{105} \] - Vậy tọa độ của điểm \(M\) là \((12, \sqrt{105})\) hoặc \((12, -\sqrt{105})\). 2. Tìm tọa độ của hai tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\): - Phương trình hypebol \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) có tiêu cự \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). - Với \(a^2 = 9\) và \(b^2 = 7\): \[ c = \sqrt{9 + 7} = \sqrt{16} = 4 \] - Tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) nằm trên trục \(Ox\) với tọa độ \((-c, 0)\) và \((c, 0)\), tức là \((-4, 0)\) và \((4, 0)\). 3. Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\): - Ta chọn điểm \(M(12, \sqrt{105})\) (với điểm \(M(12, -\sqrt{105})\) sẽ có kết quả tương tự do tính đối xứng của hypebol). - Khoảng cách từ \(M\) đến \(F_1(-4, 0)\): \[ MF_1 = \sqrt{(12 - (-4))^2 + (\sqrt{105} - 0)^2} = \sqrt{(12 + 4)^2 + (\sqrt{105})^2} = \sqrt{16^2 + 105} = \sqrt{256 + 105} = \sqrt{361} = 19 \] - Khoảng cách từ \(M\) đến \(F_2(4, 0)\): \[ MF_2 = \sqrt{(12 - 4)^2 + (\sqrt{105} - 0)^2} = \sqrt{(12 - 4)^2 + (\sqrt{105})^2} = \sqrt{8^2 + 105} = \sqrt{64 + 105} = \sqrt{169} = 13 \] Vậy khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) lần lượt là \(19\) và \(13\). Câu 3. Để tìm diện tích tam giác OAB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \( y = 3 \) và hyperbol \( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 \) Thay \( y = 3 \) vào phương trình hyperbol: \[ \frac{x^2}{4} - \frac{3^2}{9} = 1 \] \[ \frac{x^2}{4} - 1 = 1 \] \[ \frac{x^2}{4} = 2 \] \[ x^2 = 8 \] \[ x = \pm 2\sqrt{2} \] Vậy hai giao điểm là \( A(2\sqrt{2}, 3) \) và \( B(-2\sqrt{2}, 3) \). 2. Tính độ dài đoạn thẳng AB Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm \( A \) và \( B \): \[ AB = |2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})| = |2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}| = 4\sqrt{2} \] 3. Tính diện tích tam giác OAB Diện tích tam giác OAB được tính bằng công thức: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao} \] Ở đây, đáy là đoạn thẳng AB và cao là khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \( y = 3 \), tức là 3. \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 3 = 6\sqrt{2} \] Vậy diện tích tam giác OAB là: \[ \boxed{6\sqrt{2}} \] Câu 4. Để tìm tọa độ các đỉnh của hypebol \((H):\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1\), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng chuẩn của hypebol: Hypebol có dạng chuẩn là \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\). So sánh với phương trình đã cho, ta nhận thấy: \[ a^2 = 25 \quad \text{và} \quad b^2 = 9 \] Do đó: \[ a = 5 \quad \text{và} \quad b = 3 \] 2. Xác định tọa độ các đỉnh: Các đỉnh của hypebol nằm trên trục \(x\) và có tọa độ là \((\pm a, 0)\). Vì \(a = 5\), nên tọa độ các đỉnh là: \[ (5, 0) \quad \text{và} \quad (-5, 0) \] Vậy, tọa độ các đỉnh của hypebol \((H)\) là \((5, 0)\) và \((-5, 0)\). Đáp số: \((5, 0)\) và \((-5, 0)\). Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hyperbol. Hyperbol có dạng chuẩn là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a^2 = 16$ và $b^2 = 5$. Do đó, $a = 4$ và $b = \sqrt{5}$. Tiêu cự của hyperbol là $c$, được tính bằng công thức $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ c = \sqrt{16 + 5} = \sqrt{21} \] Trong hyperbol, hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên hyperbol đến hai tiêu điểm luôn bằng $2a$. Vì vậy, ta có: \[ 2a = 2 \times 4 = 8 \] Do đó, hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên hyperbol đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng 8. Đáp số: 8 Câu 6. Để tìm tiêu cự của hypebol có phương trình $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{12} = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của hypebol: Phương trình của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{12} = 1$. Đây là dạng chuẩn của phương trình hypebol với trục tiêu nằm trên trục hoành (trục x). Trong đó: - $a^2 = 16$ nên $a = 4$ - $b^2 = 12$ nên $b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ 2. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): Theo công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm của hypebol: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] Thay các giá trị của $a^2$ và $b^2$ vào: \[ c = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \] 3. Tính tiêu cự của hypebol: Tiêu cự của hypebol là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là $2c$: \[ 2c = 2 \times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7} \] Vậy tiêu cự của hypebol là $4\sqrt{7}$.