giúp em câu trong hình vs

Câu 7. Để hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song thì tỉ số của các hệ số tương ứng của chúng phải bằng nhau, tức là: \[\frac{2}{1} = \frac{m^2 + 1}{m}\] Từ đó ta có phương trình: \[2m = m^2 + 1\] Rearrange the equation: \[m^2 - 2m + 1 = 0\] Factorizing the quadratic equation: \[(m - 1)^2 = 0\] Giải phương trình này ta được: \[m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1\] Vậy tham số \(m\) để hai đường thẳng song song là \(m = 1\). Đáp số: \(m = 1\). Câu 8. Để hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song, chúng phải có cùng phương hướng nhưng không trùng nhau. Phương trình tham số của $\Delta_1$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 8 - (m + 1)t \\ y = 10 + t \end{array} \right. \] Từ phương trình này, ta thấy vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (- (m + 1), 1)$. Phương trình của $\Delta_2$ là: \[ mx + 2y - 14 = 0 \] Ta viết lại phương trình này dưới dạng: \[ 2y = -mx + 14 \] \[ y = -\frac{m}{2}x + 7 \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (1, -\frac{m}{2})$. Hai đường thẳng song song khi vectơ chỉ phương của chúng tỉ lệ với nhau, tức là: \[ \frac{- (m + 1)}{1} = \frac{1}{-\frac{m}{2}} \] Giải phương trình này: \[ - (m + 1) = -\frac{2}{m} \] \[ m + 1 = \frac{2}{m} \] \[ m^2 + m = 2 \] \[ m^2 + m - 2 = 0 \] Phương trình bậc hai này có các nghiệm: \[ m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -2 \] Đáp số: \( m = 1 \) hoặc \( m = -2 \). Câu 9. Để hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ vuông góc với nhau, ta cần tìm điều kiện về m sao cho tích của các hệ số góc của chúng bằng -1. Đầu tiên, ta viết phương trình của $\Delta_1$ dưới dạng y = ax + b: \[ 2x - 3y + 4 = 0 \] \[ 3y = 2x + 4 \] \[ y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3} \] Từ đây, ta thấy hệ số góc của $\Delta_1$ là $\frac{2}{3}$. Tiếp theo, ta viết phương trình tham số của $\Delta_2$ dưới dạng y = cx + d: \[ x = 2 - 3t \] \[ y = 1 - 4mt \] Ta cần tìm hệ số góc của $\Delta_2$. Ta có thể làm như sau: \[ t = \frac{x - 2}{-3} \] Thay vào phương trình của y: \[ y = 1 - 4m \left( \frac{x - 2}{-3} \right) \] \[ y = 1 + \frac{4m}{3}(x - 2) \] \[ y = 1 + \frac{4m}{3}x - \frac{8m}{3} \] \[ y = \frac{4m}{3}x + \left( 1 - \frac{8m}{3} \right) \] Từ đây, ta thấy hệ số góc của $\Delta_2$ là $\frac{4m}{3}$. Để hai đường thẳng vuông góc, tích của các hệ số góc phải bằng -1: \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{4m}{3} = -1 \] \[ \frac{8m}{9} = -1 \] \[ 8m = -9 \] \[ m = -\frac{9}{8} \] Vậy, giá trị của m để hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ vuông góc với nhau là $m = -\frac{9}{8}$. Câu 10. Để hai đường thẳng $\Delta_1:~3x+4y-1=0$ và $\Delta_2:(2m-1)x+m^2y+1=0$ trùng nhau, ta cần: \[ \frac{3}{2m-1} = \frac{4}{m^2} = \frac{-1}{1} \] Ta sẽ giải từng phần này một cách chi tiết. 1. Xét tỉ số $\frac{3}{2m-1} = \frac{-1}{1}$: \[ \frac{3}{2m-1} = -1 \implies 3 = -(2m-1) \implies 3 = -2m + 1 \implies 2m = -2 \implies m = -1 \] 2. Xét tỉ số $\frac{4}{m^2} = \frac{-1}{1}$: \[ \frac{4}{m^2} = -1 \implies 4 = -m^2 \implies m^2 = -4 \] Phương trình này vô nghiệm vì $m^2$ không thể là số âm. Do đó, chỉ có giá trị $m = -1$ thỏa mãn điều kiện ban đầu. Vậy giá trị của $m$ để hai đường thẳng trùng nhau là: \[ m = -1 \] Câu 11. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) bằng \(45^\circ\), ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng. Công thức góc giữa hai đường thẳng \( \Delta_1: ax + by + c = 0 \) và \( \Delta_2: a'x + b'y + c' = 0 \) là: \[ \tan \theta = \left| \frac{a b' - a' b}{a a' + b b'} \right| \] Trong đó: - \( \Delta_1: x + y - 10 = 0 \) có \( a = 1 \), \( b = 1 \) - \( \Delta_2: 2x + my + 999 = 0 \) có \( a' = 2 \), \( b' = m \) Áp dụng công thức: \[ \tan 45^\circ = 1 \] \[ 1 = \left| \frac{1 \cdot m - 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 + 1 \cdot m} \right| \] \[ 1 = \left| \frac{m - 2}{2 + m} \right| \] Ta có hai trường hợp: 1. \( \frac{m - 2}{2 + m} = 1 \) 2. \( \frac{m - 2}{2 + m} = -1 \) Xét trường hợp 1: \[ \frac{m - 2}{2 + m} = 1 \] \[ m - 2 = 2 + m \] \[ -2 = 2 \] (không thỏa mãn) Xét trường hợp 2: \[ \frac{m - 2}{2 + m} = -1 \] \[ m - 2 = -(2 + m) \] \[ m - 2 = -2 - m \] \[ m + m = -2 + 2 \] \[ 2m = 0 \] \[ m = 0 \] Vậy giá trị của \( m \) để góc giữa hai đường thẳng bằng \( 45^\circ \) là \( m = 0 \). Đáp số: \( m = 0 \). Câu 12. Để tính cosin của góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B, ta cần tìm vectơ chỉ phương của mỗi đường đi và sau đó sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ. 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường đi: - Đường đi của tàu A có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 33t \\ y = -4 + 25t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của đường đi của tàu A là: \[ \vec{d}_A = (-33, 25) \] - Đường đi của tàu B có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 - 30t \\ y = 3 - 40t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của đường đi của tàu B là: \[ \vec{d}_B = (-30, -40) \] 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \vec{d}_A \cdot \vec{d}_B = (-33) \times (-30) + 25 \times (-40) = 990 - 1000 = -10 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\vec{d}_A| = \sqrt{(-33)^2 + 25^2} = \sqrt{1089 + 625} = \sqrt{1714} \] \[ |\vec{d}_B| = \sqrt{(-30)^2 + (-40)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{d}_A \cdot \vec{d}_B}{|\vec{d}_A| \times |\vec{d}_B|} = \frac{-10}{\sqrt{1714} \times 50} \] 5. Tính gần đúng giá trị của cosin: \[ \sqrt{1714} \approx 41.4 \] \[ \cos(\theta) \approx \frac{-10}{41.4 \times 50} = \frac{-10}{2070} \approx -0.0048 \] Vậy, cosin của góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B là khoảng \(-0.0048\). Đáp số: \(\cos(\theta) \approx -0.0048\) Câu 13. Để tìm khoảng thời gian sao cho hai tàu gần nhau nhất, ta cần tính khoảng cách giữa hai tàu A và B theo thời gian t, sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách này. Bước 1: Xác định tọa độ của hai tàu A và B: - Tàu A có tọa độ: \( (3 - 33t, -4 + 25t) \) - Tàu B có tọa độ: \( (4 - 30t, 3 - 40t) \) Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai tàu A và B: Khoảng cách \(d\) giữa hai điểm \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\) là: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Áp dụng vào tọa độ của tàu A và B: \[ d = \sqrt{[(4 - 30t) - (3 - 33t)]^2 + [(3 - 40t) - (-4 + 25t)]^2} \] \[ d = \sqrt{(4 - 30t - 3 + 33t)^2 + (3 - 40t + 4 - 25t)^2} \] \[ d = \sqrt{(1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2} \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách \(d\): Ta sẽ tìm giá trị của \(t\) làm cho \(d\) nhỏ nhất bằng cách tìm đạo hàm của \(d^2\) (vì \(d^2\) cũng đạt giá trị nhỏ nhất khi \(d\) nhỏ nhất). \[ d^2 = (1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2 \] \[ d^2 = (1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2 \] \[ d^2 = 1 + 6t + 9t^2 + 49 - 910t + 4225t^2 \] \[ d^2 = 4234t^2 - 904t + 50 \] Bước 4: Tìm đạo hàm của \(d^2\) và đặt nó bằng 0: \[ \frac{d(d^2)}{dt} = 8468t - 904 \] \[ 8468t - 904 = 0 \] \[ 8468t = 904 \] \[ t = \frac{904}{8468} \] \[ t = \frac{226}{2117} \approx 0.1067 \text{ giờ} \] Vậy sau khoảng thời gian \( t \approx 0.1067 \) giờ, hai tàu gần nhau nhất. Câu 14. Trước hết, ta xác định tọa độ ban đầu của tàu A và tàu B: - Tàu A có tọa độ ban đầu là $(3, -4)$. - Tàu B có tọa độ ban đầu là $(4, 3)$. Khi tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tọa độ của tàu A không đổi và luôn là $(3, -4)$. Tàu B chuyển động theo phương trình tọa độ $(4 - 30t, 3 - 40t)$. Khoảng cách giữa hai tàu A và B tại thời điểm t là: \[ d(t) = \sqrt{(4 - 30t - 3)^2 + (3 - 40t + 4)^2} \] \[ d(t) = \sqrt{(1 - 30t)^2 + (7 - 40t)^2} \] Ta cần tìm giá trị của t sao cho khoảng cách này nhỏ nhất. Để làm điều này, ta sẽ tìm đạo hàm của $d^2(t)$ (vì $d(t)$ là hàm số liên tục và đạo hàm của nó phức tạp hơn). \[ d^2(t) = (1 - 30t)^2 + (7 - 40t)^2 \] \[ d^2(t) = 1 - 60t + 900t^2 + 49 - 560t + 1600t^2 \] \[ d^2(t) = 2500t^2 - 620t + 50 \] Bây giờ, ta tìm đạo hàm của $d^2(t)$: \[ \frac{d}{dt}(d^2(t)) = 5000t - 620 \] Đặt đạo hàm này bằng 0 để tìm giá trị của t: \[ 5000t - 620 = 0 \] \[ 5000t = 620 \] \[ t = \frac{620}{5000} = \frac{31}{250} \] Thay giá trị của t vào phương trình tọa độ của tàu B: \[ x_B = 4 - 30 \cdot \frac{31}{250} = 4 - \frac{930}{250} = 4 - 3.72 = 0.28 \] \[ y_B = 3 - 40 \cdot \frac{31}{250} = 3 - \frac{1240}{250} = 3 - 4.96 = -1.96 \] Tọa độ của tàu B khi khoảng cách nhỏ nhất là $(0.28, -1.96)$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai tàu là: \[ d_{min} = \sqrt{(3 - 0.28)^2 + (-4 + 1.96)^2} \] \[ d_{min} = \sqrt{(2.72)^2 + (-2.04)^2} \] \[ d_{min} = \sqrt{7.3984 + 4.1616} \] \[ d_{min} = \sqrt{11.56} \] \[ d_{min} = 3.4 \text{ km} \] Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là 3.4 km.