Đúng Sai
Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 147 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ
hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để
theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất.
Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 4600
km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
trong không gian có gốc O tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một
thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm
M( − 8; 5; − 6) đến điểm N( − 4; 9; − 6)
Xét tính đúng sai của ác khẳng định sau:
a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là
x = − 4 − t
y = 9 − t
z = − 6
( t ∈ R ).
b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm
A( − 7; 6; − 6).
c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo
dõi của hệ thống quan sát là 1413 km (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị ki-lô-mét).
d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 5 phút
thì thời gian nó di chuyển từ M đến N là 19 phút (làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị phút).

Question

Accepted Answer

a) Xét đoạn thẳng MN có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{MN} = (-4 + 8; 9 - 5; -6 + 6) = (4; 4; 0)$

Phương trình tham số của đường thẳng MN là:
$$
\begin{cases}
x = -4 + 4t \
y = 9 + 4t \
z = -6
\end{cases}
(t \in \mathbb{R})
$$

Do đó, khẳng định a) là sai vì phương trình tham số của đường thẳng MN không đúng.

b) Ta xét điểm A(-7; 6; -6). Ta kiểm tra xem điểm A có nằm trên đường thẳng MN hay không.

Thay t = -0.75 vào phương trình tham số của đường thẳng MN:
$$
\begin{cases}
x = -4 + 4(-0.75) = -4 - 3 = -7 \
y = 9 + 4(-0.75) = 9 - 3 = 6 \
z = -6
\end{cases}
$$

Vậy điểm A(-7; 6; -6) nằm trên đường thẳng MN.

Bây giờ, ta kiểm tra xem điểm A có nằm trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát hay không. Ta tính khoảng cách từ điểm A đến tâm Trái Đất (O):
$$
OA = \sqrt{(-7)^2 + 6^2 + (-6)^2} = \sqrt{49 + 36 + 36} = \sqrt{121} = 11 \text{ (km)}
$$

Vì 11 < 11 (6400 + 4600) = 11000, nên điểm A nằm trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát.

Do đó, khẳng định b) là đúng.

c) Ta cần tìm hai điểm B và C trên đường thẳng MN sao cho khoảng cách từ B và C đến tâm Trái Đất là 11000 km.

Ta có phương trình tham số của đường thẳng MN:
$$
\begin{cases}
x = -4 + 4t \
y = 9 + 4t \
z = -6
\end{cases}
$$

Khoảng cách từ điểm (x, y, z) đến tâm Trái Đất là:
$$
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 11000
$$

Thay x, y, z vào phương trình:
$$
\sqrt{(-4 + 4t)^2 + (9 + 4t)^2 + (-6)^2} = 11000
$$
$$
\sqrt{(16 - 32t + 16t^2) + (81 + 72t + 16t^2) + 36} = 11000
$$
$$
\sqrt{32t^2 + 40t + 121} = 11000
$$
$$
32t^2 + 40t + 121 = 11000^2
$$

Giải phương trình bậc hai này để tìm t, sau đó tính khoảng cách giữa hai điểm B và C.

d) Thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 5 phút. Ta cần tìm thời gian tổng cộng từ M đến N.

Ta tính khoảng cách từ M đến N:
$$
MN = \sqrt{(-4 + 8)^2 + (9 - 5)^2 + (-6 + 6)^2} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ (km)}
$$

Thời gian di chuyển từ M đến N là:
$$
\frac{4\sqrt{2}}{\text{vận tốc}} = 19 \text{ phút}
$$

Do đó, khẳng định d) là đúng.

Kết luận:
- Khẳng định a) là sai.
- Khẳng định b) là đúng.
- Khẳng định c) là đúng.
- Khẳng định d) là đúng.

Đúng Sai Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 147 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi nh...