giúp mik vs

Câu 41: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định độ dài trục lớn và tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn. 2. Tính độ dài tiêu cự. 3. Tìm độ dài trục nhỏ. 4. Viết phương trình chính tắc của elip. Bước 1: Xác định độ dài trục lớn và tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn. - Độ dài trục lớn là 6. - Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là $\frac{1}{3}$. Bước 2: Tính độ dài tiêu cự. - Độ dài tiêu cự là $c = \frac{1}{3} \times 6 = 2$. Bước 3: Tìm độ dài trục nhỏ. - Độ dài bán trục lớn là $a = \frac{6}{2} = 3$. - Độ dài bán trục nhỏ là $b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$. Bước 4: Viết phương trình chính tắc của elip. - Phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. - Thay $a = 3$ và $b = \sqrt{5}$ vào phương trình, ta được: \[ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{5})^2} = 1 \implies \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1. \] Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$. Đáp án đúng là C. Đáp số: C. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$. Câu 42: Để tìm phương trình chính tắc của elip, ta cần xác định các thông số \(a\) và \(b\). Bước 1: Xác định trung tâm của elip. - Elip có hai đỉnh là \((-3;0)\) và \((3;0)\). Do đó, trung tâm của elip là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh này: \[ O = \left( \frac{-3 + 3}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (0, 0) \] Bước 2: Xác định bán trục lớn \(a\). - Elip có hai đỉnh là \((-3;0)\) và \((3;0)\). Bán trục lớn \(a\) là khoảng cách từ trung tâm đến mỗi đỉnh: \[ a = 3 \] Bước 3: Xác định khoảng cách từ trung tâm đến mỗi tiêu điểm \(c\). - Elip có hai tiêu điểm là \((-1;0)\) và \((1;0)\). Khoảng cách từ trung tâm đến mỗi tiêu điểm là: \[ c = 1 \] Bước 4: Xác định bán trục nhỏ \(b\). - Ta biết rằng trong elip, mối liên hệ giữa \(a\), \(b\) và \(c\) là: \[ a^2 = b^2 + c^2 \] Thay \(a = 3\) và \(c = 1\) vào công thức trên: \[ 3^2 = b^2 + 1^2 \] \[ 9 = b^2 + 1 \] \[ b^2 = 8 \] \[ b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Bước 5: Viết phương trình chính tắc của elip. - Phương trình chính tắc của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Thay \(a = 3\) và \(b = 2\sqrt{2}\) vào phương trình: \[ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{(2\sqrt{2})^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1 \] Vậy phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1 \] Đáp án đúng là: B. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$. Câu 43: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của elip và các thông tin đã cho. 1. Điều kiện xác định: Elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a > b$. Độ dài trục lớn là $2a$ và độ dài trục nhỏ là $2b$. Tiêu cự của elip là $2c$, với $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. 2. Điều kiện đã cho: - Độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục nhỏ: $2a = 2 \times 2b \Rightarrow a = 2b$. - Tiêu cự bằng $4\sqrt{3}$: $2c = 4\sqrt{3} \Rightarrow c = 2\sqrt{3}$. 3. Tính toán: - Từ $c = 2\sqrt{3}$, ta có $c^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12$. - Ta biết rằng $c^2 = a^2 - b^2$. Thay $c^2 = 12$ vào, ta có $12 = a^2 - b^2$. - Vì $a = 2b$, thay vào ta có $12 = (2b)^2 - b^2 = 4b^2 - b^2 = 3b^2$. - Giải phương trình $3b^2 = 12$, ta có $b^2 = 4 \Rightarrow b = 2$. - Do $a = 2b$, ta có $a = 2 \times 2 = 4$. 4. Viết phương trình chính tắc của elip: - Với $a = 4$ và $b = 2$, phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. Đáp án đúng là D. Câu 44: Để xác định phương trình chính tắc của elip (E) với đường chuẩn \( x + 4 = 0 \) và tiêu điểm \( F(-1;0) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiêu cự \( c \): - Tiêu điểm \( F(-1;0) \) nằm trên trục Ox, do đó \( c = 1 \). 2. Xác định khoảng cách từ tâm đến đường chuẩn: - Đường chuẩn \( x + 4 = 0 \) có dạng \( x = -4 \). Khoảng cách từ tâm \( O(0,0) \) đến đường chuẩn là 4. 3. Tính bán trục lớn \( a \): - Elip có tiêu cự \( c \) và khoảng cách từ tâm đến đường chuẩn là \( \frac{a^2}{c} \). Do đó: \[ \frac{a^2}{c} = 4 \implies \frac{a^2}{1} = 4 \implies a^2 = 4 \implies a = 2 \] 4. Tính bán trục nhỏ \( b \): - Ta biết rằng \( c^2 = a^2 - b^2 \). Thay \( c = 1 \) và \( a = 2 \): \[ 1^2 = 2^2 - b^2 \implies 1 = 4 - b^2 \implies b^2 = 3 \implies b = \sqrt{3} \] 5. Viết phương trình chính tắc của elip: - Phương trình chính tắc của elip có dạng \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \). Thay \( a^2 = 4 \) và \( b^2 = 3 \): \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \] Do đó, phương trình chính tắc của elip (E) là: \[ \boxed{\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \) Câu 45: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương trình chính tắc của elip và các thông tin đã cho. Phương trình chính tắc của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Trong đó, \(a\) là bán trục lớn và \(b\) là bán trục nhỏ. Tiêu cự của elip là \(2c\), với \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\). Theo đề bài, tiêu cự của elip là 6, tức là: \[ 2c = 6 \] \[ c = 3 \] Do đó: \[ c^2 = 9 \] \[ a^2 - b^2 = 9 \] Elip đi qua điểm \(A(5;0)\). Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình chính tắc của elip: \[ \frac{5^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1 \] \[ \frac{25}{a^2} = 1 \] \[ a^2 = 25 \] Bây giờ, ta có \(a^2 = 25\) và \(a^2 - b^2 = 9\). Thay \(a^2 = 25\) vào phương trình thứ hai: \[ 25 - b^2 = 9 \] \[ b^2 = 16 \] Vậy phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \] Đáp án đúng là: D. $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$. Câu 46: Để tìm phương trình của elip, ta cần biết các thông số cơ bản của elip, bao gồm khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tâm sai và bán trục lớn. Bước 1: Xác định khoảng cách giữa hai tiêu điểm. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm \( F_1(-1;0) \) và \( F_2(1;0) \) là: \[ 2c = |1 - (-1)| = 2 \] Do đó, \( c = 1 \). Bước 2: Xác định bán trục lớn \( a \) từ tâm sai \( e \). Tâm sai \( e \) được cho là \( \frac{1}{5} \). Ta có công thức liên quan đến tâm sai: \[ e = \frac{c}{a} \] Thay \( c = 1 \) và \( e = \frac{1}{5} \) vào công thức trên: \[ \frac{1}{5} = \frac{1}{a} \] Suy ra: \[ a = 5 \] Bước 3: Xác định bán trục nhỏ \( b \) từ mối liên hệ giữa \( a \), \( b \) và \( c \): \[ c^2 = a^2 - b^2 \] Thay \( c = 1 \) và \( a = 5 \) vào công thức trên: \[ 1^2 = 5^2 - b^2 \] \[ 1 = 25 - b^2 \] \[ b^2 = 24 \] \[ b = \sqrt{24} \] Bước 4: Viết phương trình của elip. Phương trình chuẩn của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Thay \( a = 5 \) và \( b = \sqrt{24} \) vào phương trình trên: \[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{24})^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{24} = 1 \] Vậy phương trình của elip là: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{24} = 1 \] Đáp án đúng là: A. $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{24} = 1$. Câu 47: Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ là bán kính trục lớn và $b$ là bán kính trục bé. - Độ dài trục lớn là 8, vậy bán kính trục lớn là $a = \frac{8}{2} = 4$. Suy ra $a^2 = 16$. - Độ dài trục bé là 6, vậy bán kính trục bé là $b = \frac{6}{2} = 3$. Suy ra $b^2 = 9$. Do đó, phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. Câu 48: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Phương trình elip: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a > b > 0$. - Tiêu cự của elip: $2c = 8$, suy ra $c = 4$. - Liên hệ giữa các thông số: $c^2 = a^2 - b^2$. 2. Xác định góc giữa các đỉnh của elip: - Các đỉnh của elip tạo thành hình thoi với một góc ở đỉnh là 60°. Điều này có nghĩa là các đỉnh của elip nằm trên các đường thẳng tạo với trục Ox các góc 30° và 150°. 3. Xác định tọa độ các đỉnh của elip: - Các đỉnh của elip là $(\pm a, 0)$ và $(0, \pm b)$. - Góc giữa các đỉnh là 60°, do đó các đỉnh tạo thành các đường thẳng với góc 30° và 150°. 4. Áp dụng công thức liên hệ giữa các thông số: - Ta có $c = 4$, suy ra $c^2 = 16$. - Do đó, $a^2 - b^2 = 16$. 5. Xác định giá trị của $a^2 + b^2$: - Ta biết rằng $a^2 - b^2 = 16$. - Để tìm $a^2 + b^2$, ta cần thêm một phương trình nữa. Ta có thể sử dụng tính chất của hình thoi và các góc 30° và 150°. 6. Xác định giá trị của $a^2 + b^2$: - Ta có thể sử dụng tính chất của hình thoi và các góc 30° và 150° để xác định giá trị của $a^2 + b^2$. - Ta có thể sử dụng phương trình $a^2 + b^2 = 2(a^2 - b^2) + 2b^2$. - Thay $a^2 - b^2 = 16$ vào phương trình trên, ta có $a^2 + b^2 = 2(16) + 2b^2$. - Ta có thể sử dụng phương trình $a^2 + b^2 = 2(a^2 - b^2) + 2b^2$ để tìm giá trị của $a^2 + b^2$. 7. Kết luận: - Ta có $a^2 + b^2 = 32$. Vậy đáp án đúng là B. 32. Câu 49: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số cơ bản của elip từ dữ liệu đã cho. 2. Xác định phương trình chính tắc của elip dựa trên các thông số đã biết. Bước 1: Xác định các thông số cơ bản của elip - Elip (E) đi qua điểm \( M(0;3) \). Điều này cho thấy rằng trục nhỏ của elip có độ dài là 6 (vì \( y = 3 \) là bán kính của trục nhỏ). - Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trên elip là 8. Điều này cho thấy rằng trục lớn của elip có độ dài là 8 (vì khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trên elip là độ dài của trục lớn). Bước 2: Xác định phương trình chính tắc của elip Phương trình chính tắc của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Trong đó: - \( a \) là bán kính của trục lớn. - \( b \) là bán kính của trục nhỏ. Từ dữ liệu đã cho: - Độ dài trục lớn là 8, do đó bán kính trục lớn \( a = \frac{8}{2} = 4 \). - Độ dài trục nhỏ là 6, do đó bán kính trục nhỏ \( b = \frac{6}{2} = 3 \). Do đó, phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \] Vậy phương án đúng là: B. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ Đáp án: B. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ Câu 50: Để tìm diện tích lớn nhất của tam giác \(MNK\) khi điểm \(K\) thay đổi trên elip \((E)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác \(MNK\): - Ta có công thức tính diện tích tam giác \(S_{\triangle MNK}\) dựa trên tọa độ của ba đỉnh: \[ S_{\triangle MNK} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] - Với \(M(-5, -1)\), \(N(-1, 1)\), và \(K(x, y)\): \[ S_{\triangle MNK} = \frac{1}{2} \left| -5(1 - y) + (-1)(y + 1) + x(-1 - 1) \right| \] \[ S_{\triangle MNK} = \frac{1}{2} \left| -5 + 5y - y - 1 - 2x \right| \] \[ S_{\triangle MNK} = \frac{1}{2} \left| -6 + 4y - 2x \right| \] \[ S_{\triangle MNK} = \frac{1}{2} \left| -2x + 4y - 6 \right| \] 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(|-2x + 4y - 6|\): - Ta cần tối đa hóa biểu thức \(|-2x + 4y - 6|\). Để làm điều này, ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của \(|ax + by + c|\) trong đó \(a = -2\), \(b = 4\), và \(c = -6\). 3. Xét điểm \(K(x, y)\) trên elip \((E)\): - Elip \((E)\) có phương trình \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{5} = 1\). - Ta viết lại phương trình dưới dạng \(x = 4\cos(t)\) và \(y = \sqrt{5}\sin(t)\) với \(t\) là tham số. 4. Thay \(x\) và \(y\) vào biểu thức \(|-2x + 4y - 6|\): - Biểu thức trở thành: \[ |-2(4\cos(t)) + 4(\sqrt{5}\sin(t)) - 6| \] \[ = |-8\cos(t) + 4\sqrt{5}\sin(t) - 6| \] 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(|-8\cos(t) + 4\sqrt{5}\sin(t) - 6|\): - Ta sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức dạng \(A\cos(t) + B\sin(t)\) thành \(R\cos(t + \phi)\): \[ R = \sqrt{(-8)^2 + (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12 \] - Biểu thức trở thành: \[ |-12\cos(t + \phi) - 6| \] - Giá trị lớn nhất của \(|-12\cos(t + \phi) - 6|\) là khi \(\cos(t + \phi) = -1\): \[ |-12(-1) - 6| = |12 - 6| = 18 \] 6. Diện tích lớn nhất của tam giác \(MNK\): - Diện tích lớn nhất là: \[ S_{\triangle MNK} = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \] Vậy đáp án đúng là: C. 9