có một khối sắt có dạng hình lập phương có độ dài là số tự nhiên theo đơn vị cm. Người ta nấu khối sắt này và tạo thành một khối sắt dạng hình hộp chữ nhật có các cạnh đều là số tự nhiên và kích thước...

Để khối sắt hình lập phương sau khi nấu chảy và tạo thành khối sắt hình hộp chữ nhật có các cạnh đều là số tự nhiên, thể tích của hình lập phương phải bằng thể tích của hình hộp chữ nhật.

Thể tích của hình hộp chữ nhật có kích thước đáy 10cm x 8cm và chiều cao là một số tự nhiên (gọi là h) là:
V 
hcn
​
=10×8×h=80h (cm³)

Thể tích của hình lập phương có độ dài cạnh là một số tự nhiên (gọi là a) là:
V 
lp
​
=a 
3
 (cm³)

Vì thể tích của hai khối sắt bằng nhau, ta có:
a 
3
=80h

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của a 
3
 sao cho a và h đều là số tự nhiên.
Phân tích thừa số nguyên tố của 80:
80=2 
4
×5

Vậy, a 
3
=2 
4
×5×h

Để a 
3
 là một lập phương của một số tự nhiên, các số mũ của tất cả các thừa số nguyên tố trong phân tích của a 
3
 phải là bội số của 3. Hiện tại, số mũ của 2 là 4 và số mũ của 5 là 1.

Để số mũ của 2 trở thành bội số của 3 nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng 4, ta cần nhân thêm 2 
3−4mod3
=2 
3−1
=2 
2
=4.
Để số mũ của 5 trở thành bội số của 3 nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng 1, ta cần nhân thêm 5 
3−1mod3
=5 
3−1
=5 
2
=25.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của h để 80h là một lập phương của một số tự nhiên là:
h=2 
2
×5 
2
=4×25=100

Khi h=100, thể tích của hình hộp chữ nhật là:
V 
hcn
​
=80×100=8000 (cm³)

Khi đó, thể tích của hình lập phương ban đầu cũng là 8000 cm³.
Ta tìm cạnh của hình lập phương:
a 
3
=8000
a= 
3
 
8000

​
= 
3
 
20 
3
 

​
=20

Vì 20 là một số tự nhiên, đây là giá trị cạnh nhỏ nhất của hình lập phương thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy, thể tích nhỏ nhất có thể của hình lập phương ban đầu là 8000 cm³.

Final Answer: The final answer is  
8000
​