giải giúp sm

Câu 3. Để tìm góc giữa hai mặt phẳng (Oyz) và $(\alpha): y + z - 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là $x = 0$. Do đó, vectơ pháp tuyến của nó là $\vec{n_1} = (1, 0, 0)$. - Mặt phẳng $(\alpha): y + z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_2} = (0, 1, 1)$. 2. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến: - Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] - Ở đây, $\vec{u} = \vec{n_1} = (1, 0, 0)$ và $\vec{v} = \vec{n_2} = (0, 1, 1)$. - Tích vô hướng $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$ là: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 \] - Độ dài của $\vec{n_1}$ là: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] - Độ dài của $\vec{n_2}$ là: \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] 3. Áp dụng công thức để tính cosin góc: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{1 \cdot \sqrt{2}} = 0 \] 4. Xác định góc: - Nếu $\cos(\theta) = 0$, thì góc $\theta$ là $90^\circ$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng (Oyz) và $(\alpha): y + z - 1 = 0$ là $90^\circ$. Đáp án đúng là: D. $90^\circ$. Câu 4. Để tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta làm theo các bước sau: Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. - Mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (1, 2, -2)$. - Mặt phẳng $(Q): x + y + z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (1, 1, 1)$. Bước 2: Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến. \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 = 1 + 2 - 2 = 1 \] Bước 3: Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến. \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] Bước 4: Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến. \[ \cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{1}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9} \] Vậy cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $\frac{\sqrt{3}}{9}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{\sqrt{3}}{9}$. Câu 1 Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x+1)^2 + (y-3)^2 + (z+2)^2 = 4$. Ta nhận thấy rằng phương trình này đã được viết dưới dạng chuẩn của phương trình mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình của mặt cầu $(S)$ với phương trình chuẩn, ta có: - Tâm của mặt cầu là $I(-1, 3, -2)$. - Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{4} = 2$. Do đó, tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$ là: Tâm: $I(-1, 3, -2)$ Bán kính: $R = 2$ Vậy đáp án đúng là: C. $I(-1; 3; -2), R = 2$. Câu 2. Để tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S) từ phương trình đã cho, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương: Phương trình ban đầu là: \[ x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z - 5 = 0 \] Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(y\) và \(z\) để hoàn thành bình phương: \[ x^2 + (y^2 + 2y) + (z^2 - 4z) = 5 \] Hoàn thành bình phương cho các nhóm \(y\) và \(z\): \[ x^2 + (y^2 + 2y + 1 - 1) + (z^2 - 4z + 4 - 4) = 5 \] \[ x^2 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 2)^2 - 4 = 5 \] \[ x^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 - 5 = 5 \] \[ x^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 10 \] 2. Nhận diện tâm và bán kính từ phương trình tổng bình phương: Phương trình tổng bình phương của mặt cầu có dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] So sánh với phương trình đã biến đổi: \[ x^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 10 \] Ta nhận thấy rằng: - Tâm của mặt cầu là \( I(0, -1, 2) \) - Bán kính của mặt cầu là \( R = \sqrt{10} \) Vậy tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S) lần lượt là: \[ I(0, -1, 2), R = \sqrt{10} \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( I(0, -1, 2), R = \sqrt{10} \). Câu 3. Phương trình mặt cầu có tâm \( I(a, b, c) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Trong bài này, tâm mặt cầu là \( I(2, 3, -3) \) và bán kính \( R = 3 \). Do đó, ta thay \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = -3 \) và \( R^2 = 9 \) vào phương trình mặt cầu: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9 \] Vậy phương trình mặt cầu là: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9 \] Đáp án đúng là: D. \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9 \) Câu 4. Phương trình mặt cầu tâm \( I(a, b, c) \) và bán kính \( R \) có dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Trong bài này, tâm mặt cầu là \( I(1, 0, -3) \) và bán kính \( R = \sqrt{10} \). Do đó, ta thay \( a = 1 \), \( b = 0 \), \( c = -3 \) và \( R^2 = (\sqrt{10})^2 = 10 \) vào phương trình mặt cầu: \[ (x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (z + 3)^2 = 10 \] Vậy phương trình mặt cầu là: \[ (x - 1)^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 10 \] Đáp án đúng là: B. \( (x - 1)^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 10 \)