1.cho parabol (P) có tiêu điểm F(1;0) và đường thẳng d:x+6m=0 xác định m để (p) VÀ D CẮT NHAU TẠI 2 ĐIỂM PHÂN BIỆT 2.CHO (p):Y^2=2X Tìm những điểm thuộc (P) sao cho khoảng cách từ điểm đó tới tiêu điể...

1. Cho parabol $(P)$ có tiêu điểm $F(1;0)$ và đường thẳng $d: x + 6m = 0$. Xác định $m$ để $(P)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Phương trình tiêu chuẩn của parabol $(P)$ là $y^2 = 4ax$, với tiêu điểm $F(a;0)$. Do đó, ta có $a = 1$, suy ra phương trình của $(P)$ là $y^2 = 4x$. Để $(P)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt, ta thay $x = -6m$ vào phương trình của $(P)$: \[ y^2 = 4(-6m) \] \[ y^2 = -24m \] Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần $-24m > 0$, tức là $m < 0$. 2. Cho $(P): y^2 = 2x$. Tìm những điểm thuộc $(P)$ sao cho khoảng cách từ điểm đó tới tiêu điểm của $(P)$ bằng 4. Tiêu điểm của $(P)$ là $F\left(\frac{1}{2}; 0\right)$. Gọi $M(x; y)$ là điểm thuộc $(P)$, ta có: \[ y^2 = 2x \] Khoảng cách từ $M$ đến tiêu điểm $F$ là: \[ MF = \sqrt{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2} = 4 \] Thay $y^2 = 2x$ vào: \[ \sqrt{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 2x} = 4 \] \[ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 2x = 16 \] \[ x^2 - x + \frac{1}{4} + 2x = 16 \] \[ x^2 + x + \frac{1}{4} = 16 \] \[ x^2 + x - \frac{63}{4} = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 63}}{2} = \frac{-1 \pm 8}{2} \] \[ x = \frac{7}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{9}{2} \] Với $x = \frac{7}{2}$, ta có $y^2 = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7$, suy ra $y = \pm \sqrt{7}$. Với $x = -\frac{9}{2}$, ta có $y^2 = 2 \cdot -\frac{9}{2} = -9$ (loại). Do đó, các điểm thỏa mãn là $\left(\frac{7}{2}, \sqrt{7}\right)$ và $\left(\frac{7}{2}, -\sqrt{7}\right)$. 3. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc elip $(E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ sao cho $M$ nhìn hai tiêu điểm của $(E)$ dưới một góc 60 độ. Tiêu điểm của $(E)$ là $F_1(-4; 0)$ và $F_2(4; 0)$. Gọi $M(x; y)$ là điểm thuộc $(E)$, ta có: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \] Điều kiện góc 60 độ: \[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} = \frac{MF_1 \cdot MF_2}{MF_1 \cdot MF_2} \] Suy ra: \[ MF_1 \cdot MF_2 = 25 \] 4. Tìm tọa độ điểm $N$ thuộc hypebol $(H): \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ sao cho $N$ nhìn hai tiêu điểm của $(H)$ dưới một góc vuông. Tiêu điểm của $(H)$ là $F_1(-5; 0)$ và $F_2(5; 0)$. Gọi $N(x; y)$ là điểm thuộc $(H)$, ta có: \[ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \] Điều kiện góc vuông: \[ NF_1 \perp NF_2 \] Suy ra: \[ NF_1 \cdot NF_2 = 0 \] 5. Bạn An cùng một lúc bắn hai phát súng về đích $A$ và $B$ cách nhau 400m, biết vận tốc trung bình của viên đạn là 760m/s, viên đạn bắn về đích $A$ nhanh hơn bắn về đích $B$ là 0,5 giây. Hỏi những vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn tương tự như trên thuộc đường conic nào? Viết phương trình chính tắc của đường conic đó. Gọi $d_A$ và $d_B$ là khoảng cách từ bạn An đến đích $A$ và $B$ lần lượt. Ta có: \[ \frac{d_A}{760} + 0,5 = \frac{d_B}{760} \] \[ d_B - d_A = 380 \] Đường conic là hypebol với tiêu cự $2c = 380$, tức là $c = 190$. Độ dài trục thực là $2a = 400$, tức là $a = 200$. Độ dài trục phụ là $b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{200^2 - 190^2} = \sqrt{3900}$. Phương trình chính tắc của hypebol là: \[ \frac{x^2}{200^2} - \frac{y^2}{3900} = 1 \]