Bài 6. Cho a,b là hai số nguyên dương, đặt A = (a+b) 3 −3a 3 và B = (a+b) 3 −3b 3 . Chứng minh rằng A và B không đồng thời là số lập phương.

Bài 6. Giả sử A và B đồng thời là số lập phương. Ta có: A + B = (a + b)^3 - 3a^3 + (a + b)^3 - 3b^3 = 2(a + b)^3 - 3(a^3 + b^3) = 2(a + b)^3 - 3(a + b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)[2(a + b)^2 - 3(a^2 - ab + b^2)] = (a + b)(a^2 + 5ab + b^2) = (a + b)[(a + b)^2 + 3ab] = (a + b) × số chia hết cho 3 suy ra A + B chia hết cho 3. Mặt khác, tổng của hai số lập phương chia hết cho 3 thì ít nhất phải có 1 trong 2 số đó chia hết cho 3. Do đó, A hoặc B chia hết cho 3. Nhưng (a + b)^3 chia hết cho 3 thì a + b chia hết cho 3, suy ra a và b cùng chia hết cho 3 hoặc cùng không chia hết cho 3. - Nếu a và b cùng chia hết cho 3 thì A chia hết cho 3, B không chia hết cho 3 (loại) - Nếu a và b cùng không chia hết cho 3 thì A không chia hết cho 3, B chia hết cho 3 (loại) Vậy A và B không đồng thời là số lập phương. Bài 6. Giả sử A và B đồng thời là số lập phương, ta có: $A=(a+b)^3-3a^3=x^3$ $B=(a+b)^3-3b^3=y^3$ Suy ra $x^3+y^3=2(a+b)^3$ Tức là tổng của hai số lập phương là một số chẵn. Vậy x và y phải có cùng tính chất chẵn lẻ. Mặt khác ta có: $(a+b)^3-x^3=3a^3$ $(a+b)^3-y^3=3b^3$ Tức là hiệu của hai số lập phương là số lẻ. Vậy x và y phải có tính chất chẵn lẻ khác nhau. Điều này vô lý, do vậy A và B không đồng thời là số lập phương.