Đáp án đúng

Câu 1: Để xác định cặp điểm là các tiêu điểm của elip $(E):~\frac{x^2}5+\frac{y^2}4=1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng chuẩn của elip: Elip $(E)$ có dạng chuẩn $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a^2 = 5$ và $b^2 = 4$. Do đó, $a = \sqrt{5}$ và $b = 2$. 2. Xác định tâm và trục chính của elip: Tâm của elip là $(0, 0)$. Vì $a > b$, trục lớn nằm trên trục hoành (trục $x$). 3. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm: Khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là $c$, được tính bằng công thức $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Thay các giá trị đã biết: \[ c = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1 \] 4. Xác định tọa độ của các tiêu điểm: Các tiêu điểm nằm trên trục lớn, cách tâm một khoảng $c$. Vì trục lớn nằm trên trục $x$, các tiêu điểm sẽ có tọa độ $(\pm c, 0)$. Thay $c = 1$, ta có: \[ F_{1,2} = (\pm 1, 0) \] Do đó, cặp điểm là các tiêu điểm của elip $(E)$ là $F_{1,2} = (\pm 1, 0)$. Đáp án: B. $F_{1,2} = (\pm 1, 0)$. Câu 2: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho về elip $(E):~4x^2+9y^2-36$, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên phương trình chuẩn của elip. Phương trình chuẩn của elip là: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Trước tiên, chúng ta viết lại phương trình của elip $(E)$ dưới dạng chuẩn: \[ 4x^2 + 9y^2 = 36 \] \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Từ đây, ta nhận thấy rằng: \[ a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \] \[ b^2 = 4 \Rightarrow b = 2 \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. (E) có tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. - Ta biết rằng $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$. - Tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ đúng. B. (E) có trục lớn bằng 6. - Trục lớn của elip là $2a = 2 \times 3 = 6$. Đúng. C. (E) có trục nhỏ bằng 4. - Trục nhỏ của elip là $2b = 2 \times 2 = 4$. Đúng. D. (E) có tiêu cự $\sqrt{5}$. - Tiêu cự của elip là $2c = 2 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$. Sai. Như vậy, mệnh đề sai là D. (E) có tiêu cự $\sqrt{5}$. Đáp án: D. Câu 3: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần xác định các thông số của elip từ phương trình đã cho và kiểm tra từng phát biểu. Phương trình của elip là: \[ \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{1} = 1 \] Từ phương trình này, ta nhận thấy rằng: - \(a^2 = 3\) nên \(a = \sqrt{3}\) - \(b^2 = 1\) nên \(b = 1\) Trục lớn là \(2a = 2\sqrt{3}\) và trục nhỏ là \(2b = 2\). A. Tỉ số giữa trục lớn và trục nhỏ: \[ \frac{2a}{2b} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \] Phát biểu này đúng. B. Tiêu cự \(2c\): \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2} \] Tiêu cự là \(2c = 2\sqrt{2}\), không phải 4. Phát biểu này sai. C. Tâm sai \(e\): \[ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \] Phát biểu này sai vì \(e = \frac{\sqrt{6}}{3}\), không phải \(\frac{2}{3}\). D. Hai tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\): \[ F_1(-c, 0) = (-\sqrt{2}, 0) \quad \text{và} \quad F_2(c, 0) = (\sqrt{2}, 0) \] Phát biểu này sai vì hai tiêu điểm là \((- \sqrt{2}, 0)\) và \((\sqrt{2}, 0)\), không phải \((-2, 0)\) và \((2, 0)\). Vậy phát biểu đúng là: A. Tỉ số giữa trục lớn và trục nhỏ bằng \(\sqrt{3}\). Câu 4: Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ và $b$ là các hằng số dương. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình: A. $4x^2 + 8y^2 = 32$ Chia cả hai vế cho 32 ta được: \[ \frac{4x^2}{32} + \frac{8y^2}{32} = 1 \] \[ \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Đây là phương trình chính tắc của elip với $a^2 = 8$ và $b^2 = 4$. B. $\frac{x^2}{\frac{1}{5}} + \frac{y^2}{\frac{1}{2}} = 1$ Đây không phải là phương trình chính tắc vì các mẫu số không phải là bình phương của các hằng số dương. C. $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ Đây là phương trình chính tắc của elip với $a^2 = 64$ và $b^2 = 16$. D. $\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{4} = 1$ Đây là phương trình chính tắc của hypebol, không phải elip. Như vậy, phương trình chính tắc của elip là: \[ A.~\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1 \] \[ C.~\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1 \] Đáp án: A và C. Câu 5: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. Điểm $A(3;0)\in(E).$ - Thay tọa độ điểm $A(3;0)$ vào phương trình elip: \[ \frac{3^2}{9} + \frac{0^2}{4} = 1 \] \[ \frac{9}{9} + 0 = 1 \] \[ 1 = 1 \] Do đó, điểm $A(3;0)$ thuộc elip $(E)$. B. Elip (E) có tiêu cự bằng $2\sqrt5.$ - Elip có dạng chuẩn $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a^2 = 9$ và $b^2 = 4$. - Ta có $a = 3$ và $b = 2$. - Tiêu cự của elip là $2c$, với $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$. - Do đó, tiêu cự là $2c = 2\sqrt{5}$. C. Trục lớn của (E) có độ dài bằng 6. - Độ dài trục lớn của elip là $2a$, với $a = 3$. - Do đó, độ dài trục lớn là $2 \times 3 = 6$. D. Elip (E) có tâm sai bằng $\frac{3\sqrt5}{5}$. - Tâm sai của elip là $e = \frac{c}{a}$, với $c = \sqrt{5}$ và $a = 3$. - Do đó, tâm sai là $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Từ các kiểm tra trên, ta thấy rằng khẳng định D là sai vì tâm sai của elip là $\frac{\sqrt{5}}{3}$ chứ không phải $\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Vậy khẳng định sai là: D. Elip (E) có tâm sai bằng $\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Câu 6: Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ và $b$ là các hằng số dương. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình đã cho: A. $x^2 - y^2 = 2$ - Phương trình này có dạng $x^2 - y^2 = 2$, không phải dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Do đó, đây không phải là phương trình chính tắc của elip. B. $x^2 + y^2 = 2$ - Phương trình này có dạng $x^2 + y^2 = 2$, không phải dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Do đó, đây không phải là phương trình chính tắc của elip. C. $x^2 + 2y^2 = 2$ - Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$. Điều này đúng với dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, với $a^2 = 2$ và $b^2 = 1$. Do đó, đây là phương trình chính tắc của elip. D. $x^2 = 2y^2$ - Phương trình này có dạng $x^2 = 2y^2$, không phải dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Do đó, đây không phải là phương trình chính tắc của elip. Kết luận: Phương trình chính tắc của elip là phương trình C. $x^2 + 2y^2 = 2$. Câu 7: Phương trình elip (E) là $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$. Ta nhận thấy đây là dạng chuẩn của phương trình elip với trục lớn nằm trên trục Ox. Trong phương trình này: - \(a^2 = 36\) nên \(a = 6\) - \(b^2 = 16\) nên \(b = 4\) Tiêu cự của elip (E) được tính bằng công thức \(2c\), trong đó \(c\) là khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm. Ta có: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Do đó, tiêu cự \(F_1F_2\) là: \[ F_1F_2 = 2c = 2 \times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~F_1F_2 = 4\sqrt{5} \] Câu 8: Để tìm tiêu cự của elip \((E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Elip có dạng chuẩn \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a > b\). - Từ phương trình \((E)\), ta thấy \(a^2 = 25\) và \(b^2 = 16\). 2. Tính \(a\) và \(b\): - \(a = \sqrt{25} = 5\) - \(b = \sqrt{16} = 4\) 3. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Theo công thức \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) - Thay giá trị \(a\) và \(b\) vào công thức: \[ c = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \] 4. Tìm tiêu cự của elip: - Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là \(2c\). - Do đó, tiêu cự của elip là: \[ 2c = 2 \times 3 = 6 \] Vậy tiêu cự của elip \((E)\) là 6. Đáp án đúng là: B. 6