giải chi tiết

Câu 23: Để tìm giá trị của \( a \) sao cho diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \( y = \frac{x^2 - 2x}{x - 1} \), đường thẳng \( y = x - 1 \) và các đường thẳng \( x = a \) và \( x = 2a \) (với \( a > 1 \)) bằng \( \ln 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình của đường cong \( y = \frac{x^2 - 2x}{x - 1} \): \[ y = \frac{x^2 - 2x}{x - 1} = \frac{x(x - 2)}{x - 1} \] Ta thấy rằng \( y = x - 1 \) khi \( x \neq 1 \). 2. Diện tích \( S \) giữa hai đường cong từ \( x = a \) đến \( x = 2a \): Diện tích \( S \) được tính bằng tích phân của hiệu giữa hai hàm số từ \( x = a \) đến \( x = 2a \): \[ S = \int_{a}^{2a} \left( \frac{x^2 - 2x}{x - 1} - (x - 1) \right) \, dx \] 3. Rút gọn biểu thức trong tích phân: \[ \frac{x^2 - 2x}{x - 1} - (x - 1) = \frac{x^2 - 2x - (x - 1)^2}{x - 1} = \frac{x^2 - 2x - (x^2 - 2x + 1)}{x - 1} = \frac{-1}{x - 1} \] Vậy: \[ S = \int_{a}^{2a} \frac{-1}{x - 1} \, dx \] 4. Tính tích phân: \[ S = -\int_{a}^{2a} \frac{1}{x - 1} \, dx = -\left[ \ln |x - 1| \right]_{a}^{2a} = -(\ln |2a - 1| - \ln |a - 1|) \] \[ S = -\ln \left( \frac{2a - 1}{a - 1} \right) \] 5. Đặt diện tích \( S \) bằng \( \ln 3 \): \[ -\ln \left( \frac{2a - 1}{a - 1} \right) = \ln 3 \] Điều này tương đương với: \[ \ln \left( \frac{2a - 1}{a - 1} \right) = -\ln 3 \] \[ \frac{2a - 1}{a - 1} = \frac{1}{3} \] 6. Giải phương trình: \[ 3(2a - 1) = a - 1 \] \[ 6a - 3 = a - 1 \] \[ 5a = 2 \] \[ a = 2 \] Vậy giá trị của \( a \) là \( 2 \). Đáp án đúng là \( D.~a = 2 \).