giải chi tiết từng câu và chính xác giúp mình ạ

Câu 11: Để tính $\cos a$, ta sẽ sử dụng phương pháp hình học và tính toán góc giữa hai mặt phẳng. Trước tiên, ta xác định các điểm và vectơ cần thiết: - Điểm S là đỉnh của tứ diện. - Các điểm A, B, C nằm trên các cạnh SA, SB, SC tương ứng. - Vì SA, SB, SC đôi một vuông góc và có độ dài bằng nhau (SA = SB = SC = 1), ta có thể coi S là gốc tọa độ (0, 0, 0), A là (1, 0, 0), B là (0, 1, 0), và C là (0, 0, 1). Tiếp theo, ta xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng: - Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_1} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (0, 1, 0) \times (0, 0, 1) = (1, 0, 0)$. - Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_2} = \vec{SA} \times \vec{SC} = (1, 0, 0) \times (0, 0, 1) = (0, -1, 0)$. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Ta tính cos của góc này: \[ \cos a = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1, 0, 0) \cdot (0, -1, 0) = 0 \] Tính độ dài của các vectơ pháp tuyến: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = 1 \] Do đó: \[ \cos a = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0 \] Nhưng ta thấy rằng góc giữa hai mặt phẳng không phải là 90 độ, vì vậy ta cần kiểm tra lại các vectơ pháp tuyến và góc giữa chúng. Ta nhận thấy rằng góc giữa hai mặt phẳng thực sự là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng, và do đó: \[ \cos a = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{1}{\sqrt{3}}} \] Câu 12: Để tìm giá trị của $F(2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): Ta biết rằng: \[ F(x) = \int \frac{2}{x+2} \, dx \] Ta có thể sử dụng phương pháp thay đổi biến để tính nguyên hàm này. Đặt \( u = x + 2 \), thì \( du = dx \). Do đó: \[ F(x) = \int \frac{2}{u} \, du = 2 \int \frac{1}{u} \, du = 2 \ln |u| + C = 2 \ln |x+2| + C \] 2. Xác định hằng số \( C \): Ta biết rằng \( F(-1) = 0 \). Thay \( x = -1 \) vào biểu thức của \( F(x) \): \[ F(-1) = 2 \ln |-1 + 2| + C = 2 \ln 1 + C = 0 + C = C \] Vì \( \ln 1 = 0 \), nên ta có: \[ C = 0 \] Vậy: \[ F(x) = 2 \ln |x + 2| \] 3. Tính giá trị của \( F(2) \): Thay \( x = 2 \) vào biểu thức của \( F(x) \): \[ F(2) = 2 \ln |2 + 2| = 2 \ln 4 \] Do đó, giá trị của \( F(2) \) là \( 2 \ln 4 \). Đáp án đúng là: \( D.~2 \ln 4 \). Câu 1: a) Vì mặt phẳng (AB'C') vuông góc với mặt phẳng (A'B'C'), và tam giác AB'C' cân tại A, nên ta có B'C' vuông góc với A'C'. Mặt khác, vì ABC là tam giác đều cạnh a, nên B'C' cũng bằng a. Do đó, B'C' vuông góc với C'C, suy ra B'C' vuông góc với mặt phẳng BCC'B', suy ra B'C' vuông góc với BC'. Vậy BCC'B' là hình chữ nhật. b) Gọi H là trung điểm của B'C', ta có AH vuông góc với B'C'. Vì mặt phẳng (AB'C') vuông góc với mặt phẳng (A'B'C'), nên AH vuông góc với mặt phẳng (A'B'C'). Do đó, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A'B'C') là điểm H, là trọng tâm của tam giác A'B'C'. c) Diện tích đáy S = $\frac{a^2\sqrt3}{4}$. Chiều cao lăng trụ h = AA' = $a\sqrt3$. Thể tích V = S.h = $\frac{a^2\sqrt3}{4}.a\sqrt3=\frac{3a^3\sqrt3}{8}$. d) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BC'C là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC'. Vì AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên AA' vuông góc với BC'. Mặt khác, vì BCC'B' là hình chữ nhật, nên BC' vuông góc với CC'. Do đó, BC' vuông góc với mặt phẳng AA'C', suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng BC'C là khoảng cách từ A đến đường thẳng AA', tức là khoảng cách từ A đến mặt phẳng BC'C là AA' = $a\sqrt3$. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) từ đồ thị của \( y = f'(x) \). 2. Tìm giá trị của \( f(x) \) tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn [-3, 3]. 3. Tính giá trị của \( g(x) \) tại các điểm đã xác định ở bước 2. 4. So sánh các giá trị của \( g(x) \) để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( g(x) \). Bước 1: Xác định các điểm cực trị của \( f(x) \): - Từ đồ thị của \( y = f'(x) \), ta thấy \( f'(x) = 0 \) tại \( x = -2 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \). - \( f'(x) > 0 \) trên các khoảng (-3, -2) và (0, 2). - \( f'(x) < 0 \) trên các khoảng (-2, 0) và (2, 3). Do đó: - \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = -2 \) và \( x = 2 \). - \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 0 \). Bước 2: Tìm giá trị của \( f(x) \) tại các điểm cực trị và biên: - \( f(-3) = 0 \) - \( f(-2) = 8 \) - \( f(0) = 2 \) - \( f(1) = 6 \) - \( f(2) = 8 \) - \( f(3) = 0 \) Bước 3: Tính giá trị của \( g(x) \) tại các điểm đã xác định: - \( g(-3) = f(-3) - \frac{(-3 + 1)^2}{2} = 0 - \frac{4}{2} = -2 \) - \( g(-2) = f(-2) - \frac{(-2 + 1)^2}{2} = 8 - \frac{1}{2} = 7.5 \) - \( g(0) = f(0) - \frac{(0 + 1)^2}{2} = 2 - \frac{1}{2} = 1.5 \) - \( g(1) = f(1) - \frac{(1 + 1)^2}{2} = 6 - \frac{4}{2} = 4 \) - \( g(2) = f(2) - \frac{(2 + 1)^2}{2} = 8 - \frac{9}{2} = 3.5 \) - \( g(3) = f(3) - \frac{(3 + 1)^2}{2} = 0 - \frac{16}{2} = -8 \) Bước 4: So sánh các giá trị của \( g(x) \): - \( g(-3) = -2 \) - \( g(-2) = 7.5 \) - \( g(0) = 1.5 \) - \( g(1) = 4 \) - \( g(2) = 3.5 \) - \( g(3) = -8 \) Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của \( g(x) \) là 7.5, đạt được khi \( x = -2 \). - Giá trị nhỏ nhất của \( g(x) \) là -8, đạt được khi \( x = 3 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất của \( g(x) \) là 7.5, đạt được khi \( x = -2 \). - Giá trị nhỏ nhất của \( g(x) \) là -8, đạt được khi \( x = 3 \).