giai giúp vs

Câu 3. a) Chọn ra hai bạn gồm một nam và một nữ tham gia vào Đội cờ đỏ. - Số cách chọn 1 nam từ 17 nam: $\binom{17}{1} = 17$ - Số cách chọn 1 nữ từ 13 nữ: $\binom{13}{1} = 13$ Số cách chọn tổng cộng: \[ 17 \times 13 = 221 \] Đáp số: 221 cách b) Chọn ra ba bạn trực nhật lớp, trong đó phân công một bạn quét lớp, một bạn quét sân và một bạn lau bảng. - Số cách chọn 3 bạn từ 30 học sinh: $\binom{30}{3} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060$ - Số cách phân công 3 công việc cho 3 bạn: $3! = 6$ Số cách chọn tổng cộng: \[ 4060 \times 6 = 24360 \] Đáp số: 24360 cách c) Chọn ra ba bạn tham gia hoạt động thiện nguyện, trong đó phải có lớp trưởng và có ít nhất một nữ. - Lớp trưởng đã được chọn, còn lại cần chọn 2 bạn từ 29 học sinh còn lại. - Số cách chọn 2 bạn từ 29 học sinh: $\binom{29}{2} = \frac{29 \times 28}{2 \times 1} = 406$ - Số cách chọn 2 bạn đều là nam từ 16 nam còn lại: $\binom{16}{2} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120$ Số cách chọn ít nhất một nữ: \[ 406 - 120 = 286 \] Đáp số: 286 cách d) Sắp xếp học sinh để chụp ảnh kỉ yếu trong đó có 14 bạn đứng hàng trước và 16 bạn đứng hàng sau. - Số cách chọn 14 bạn từ 30 học sinh: $\binom{30}{14}$ - Số cách sắp xếp 14 bạn trong hàng trước: $14!$ - Số cách sắp xếp 16 bạn trong hàng sau: $16!$ Số cách chọn tổng cộng: \[ \binom{30}{14} \times 14! \times 16! \] Đáp số: $\binom{30}{14} \times 14! \times 16!$ Câu 4. a) Chọn một học sinh trong lớp 10A vào vị trí lớp trưởng: - Tổng số học sinh trong lớp 10A là 16 + 18 = 34 học sinh. - Số cách chọn một học sinh vào vị trí lớp trưởng là 34 cách. b) Chọn hai học sinh trong lớp 10A gồm 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ: - Số cách chọn 1 học sinh nam từ 16 học sinh nam là 16 cách. - Số cách chọn 1 học sinh nữ từ 18 học sinh nữ là 18 cách. - Số cách chọn 2 học sinh gồm 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ là 16 × 18 = 288 cách. c) Chọn 3 học sinh nam trong lớp 10A vào các vị trí lớp trưởng, bí thư, phó bí thư: - Số cách chọn 3 học sinh nam từ 16 học sinh nam là 16 × 15 × 14 = 3360 cách. - Số cách sắp xếp 3 học sinh này vào 3 vị trí khác nhau là 3! = 6 cách. - Số cách chọn 3 học sinh nam vào các vị trí lớp trưởng, bí thư, phó bí thư là 3360 × 6 = 560 cách. d) Chọn 4 học sinh trong lớp 10A tham gia đội Thanh niên xung kích, trong đó có nhiều nhất một học sinh nữ: - Trường hợp 1: Chọn 4 học sinh nam từ 16 học sinh nam. - Số cách chọn 4 học sinh nam là C(16, 4) = $\frac{16!}{4!(16-4)!}$ = 1820 cách. - Trường hợp 2: Chọn 3 học sinh nam từ 16 học sinh nam và 1 học sinh nữ từ 18 học sinh nữ. - Số cách chọn 3 học sinh nam là C(16, 3) = $\frac{16!}{3!(16-3)!}$ = 560 cách. - Số cách chọn 1 học sinh nữ là 18 cách. - Số cách chọn 3 học sinh nam và 1 học sinh nữ là 560 × 18 = 10080 cách. - Tổng số cách chọn 4 học sinh trong lớp 10A tham gia đội Thanh niên xung kích, trong đó có nhiều nhất một học sinh nữ là 1820 + 10080 = 11900 cách. Đáp số: a) 34 cách b) 288 cách c) 560 cách d) 11900 cách Câu 1. Để tìm tọa độ tâm $I(a; b)$ của đường tròn $(C):~x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình đường tròn dưới dạng tổng bình phương: \[ x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$: \[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + 1 = 0 \] \[ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) - 4 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 4 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 \] Bước 3: So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, ta nhận thấy: \[ a = 1, \quad b = -2, \quad R^2 = 4 \] Do đó, tâm của đường tròn là $I(1; -2)$. Bước 4: Tính giá trị của $a + b$: \[ a + b = 1 + (-2) = -1 \] Vậy giá trị của $a + b$ là $\boxed{-1}$. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào phương trình của đường tròn và xác định tâm và bán kính từ đó. Phương trình của đường tròn $(C)$ được cho là: \[ (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] Phương trình tổng quát của đường tròn có tâm $(a; b)$ và bán kính $R$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] So sánh phương trình đã cho với phương trình tổng quát, ta nhận thấy: - Tâm của đường tròn $(C)$ là $(-2; -3)$, tức là $a = -2$ và $b = -3$. - Bán kính của đường tròn $(C)$ là $\sqrt{25} = 5$, tức là $c = 5$. Vậy giá trị của $a + b + c$ là: \[ a + b + c = (-2) + (-3) + 5 = 0 \] Đáp số: $a + b + c = 0$. Câu 3. Để tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định chữ số cuối cùng: - Một số chia hết cho 5 nếu chữ số cuối cùng của nó là 0 hoặc 5. - Vì số cần tìm gồm bốn chữ số khác nhau, nên chữ số cuối cùng có thể là 0 hoặc 5. 2. Xét trường hợp chữ số cuối cùng là 0: - Chữ số thứ nhất (chữ số hàng nghìn) có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 9 (không thể là 0 vì số đó phải là số bốn chữ số). Do đó, có 9 lựa chọn. - Chữ số thứ hai (chữ số hàng trăm) có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 trừ đi chữ số đã chọn cho hàng nghìn. Do đó, có 9 lựa chọn. - Chữ số thứ ba (chữ số hàng chục) có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 trừ đi hai chữ số đã chọn. Do đó, có 8 lựa chọn. - Tổng số trường hợp khi chữ số cuối cùng là 0: \[ 9 \times 9 \times 8 = 648 \] 3. Xét trường hợp chữ số cuối cùng là 5: - Chữ số thứ nhất (chữ số hàng nghìn) có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 9 (không thể là 0 vì số đó phải là số bốn chữ số). Do đó, có 8 lựa chọn (vì 5 đã được chọn làm chữ số cuối cùng). - Chữ số thứ hai (chữ số hàng trăm) có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 trừ đi chữ số đã chọn cho hàng nghìn và 5. Do đó, có 8 lựa chọn. - Chữ số thứ ba (chữ số hàng chục) có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 trừ đi ba chữ số đã chọn. Do đó, có 8 lựa chọn. - Tổng số trường hợp khi chữ số cuối cùng là 5: \[ 8 \times 8 \times 8 = 512 \] 4. Tổng hợp kết quả: - Tổng số số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5 là tổng của hai trường hợp trên: \[ 648 + 512 = 1160 \] Vậy, có tất cả 1160 số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Câu 4. Để tìm hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (x+1)^4 \) và \( (2x-1)^5 \), ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Khai triển \( (x+1)^4 \) Theo công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = x \), \( b = 1 \), và \( n = 4 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^3 \). Hệ số của \( x^3 \) tương ứng với \( k = 1 \): \[ \binom{4}{1} x^{4-1} 1^1 = \binom{4}{1} x^3 = 4 x^3 \] Vậy hệ số của \( x^3 \) trong khai triển \( (x+1)^4 \) là 4. Khai triển \( (2x-1)^5 \) Theo công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = 2x \), \( b = -1 \), và \( n = 5 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^3 \). Hệ số của \( x^3 \) tương ứng với \( k = 2 \): \[ \binom{5}{2} (2x)^{5-2} (-1)^2 = \binom{5}{2} (2x)^3 = \binom{5}{2} \cdot 8 x^3 = 10 \cdot 8 x^3 = 80 x^3 \] Vậy hệ số của \( x^3 \) trong khai triển \( (2x-1)^5 \) là 80. Kết luận - Hệ số của \( x^3 \) trong khai triển \( (x+1)^4 \) là 4. - Hệ số của \( x^3 \) trong khai triển \( (2x-1)^5 \) là 80. Câu 5. Để tính $a + b + c$, ta cần xác định các hệ số $a$, $b$, và $c$ của parabol $(P)$ có phương trình $y = ax^2 + bx + c$. Biết rằng parabol $(P)$ đi qua điểm $A(0;3)$ và có đỉnh $I(-1;2)$. Bước 1: Xác định $c$ từ điểm $A(0;3)$ - Thay tọa độ điểm $A(0;3)$ vào phương trình $y = ax^2 + bx + c$: \[ 3 = a(0)^2 + b(0) + c \] \[ 3 = c \] Bước 2: Xác định $a$ và $b$ từ đỉnh $I(-1;2)$ - Ta biết rằng đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$ có tọa độ $\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$. Do đó, ta có: \[ -\frac{b}{2a} = -1 \] \[ b = 2a \] - Thay tọa độ đỉnh $I(-1;2)$ vào phương trình $y = ax^2 + bx + c$: \[ 2 = a(-1)^2 + b(-1) + c \] \[ 2 = a - b + c \] Bước 3: Thay $c = 3$ và $b = 2a$ vào phương trình $2 = a - b + c$ \[ 2 = a - 2a + 3 \] \[ 2 = -a + 3 \] \[ a = 1 \] Bước 4: Xác định $b$ \[ b = 2a = 2 \times 1 = 2 \] Bước 5: Tính $a + b + c$ \[ a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6 \] Vậy $a + b + c = 6$. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính số cách chọn các kí tự cho từng phần của mật khẩu và sau đó nhân các kết quả lại với nhau. 1. Chọn 3 chữ cái đầu tiên: - Có 26 chữ cái trong bảng chữ cái. - Chọn 3 chữ cái đầu tiên, mỗi chữ cái phải khác nhau. - Số cách chọn 3 chữ cái đầu tiên là: \[ 26 \times 25 \times 24 \] 2. Chọn 5 chữ số tiếp theo: - Mỗi chữ số có thể là từ 0 đến 9, tức là có 10 lựa chọn cho mỗi chữ số. - Chọn 5 chữ số, mỗi chữ số phải khác nhau. - Số cách chọn 5 chữ số là: \[ 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \] 3. Tính tổng số cách tạo mật khẩu: - Nhân số cách chọn 3 chữ cái đầu tiên với số cách chọn 5 chữ số tiếp theo: \[ (26 \times 25 \times 24) \times (10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6) \] Bây giờ, chúng ta thực hiện phép nhân: \[ 26 \times 25 = 650 \] \[ 650 \times 24 = 15600 \] \[ 10 \times 9 = 90 \] \[ 90 \times 8 = 720 \] \[ 720 \times 7 = 5040 \] \[ 5040 \times 6 = 30240 \] Cuối cùng, nhân hai kết quả lại với nhau: \[ 15600 \times 30240 = 472780800 \] Vậy, số cách tạo ra mật khẩu là: \[ \boxed{472780800} \] Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính số cách lấy 3 quả cầu có cùng màu từ mỗi hộp. 1. Tính số cách lấy 3 quả cầu xanh: - Từ hộp A, có 3 quả cầu xanh. - Từ hộp B, có 4 quả cầu xanh. - Từ hộp C, có 5 quả cầu xanh. Số cách lấy 3 quả cầu xanh từ cả ba hộp là: \[ 3 \times 4 \times 5 = 60 \] 2. Tính số cách lấy 3 quả cầu đỏ: - Từ hộp A, có 4 quả cầu đỏ. - Từ hộp B, có 3 quả cầu đỏ. - Từ hộp C, có 5 quả cầu đỏ. Số cách lấy 3 quả cầu đỏ từ cả ba hộp là: \[ 4 \times 3 \times 5 = 60 \] 3. Tính số cách lấy 3 quả cầu trắng: - Từ hộp A, có 5 quả cầu trắng. - Từ hộp B, có 6 quả cầu trắng. - Từ hộp C, có 2 quả cầu trắng. Số cách lấy 3 quả cầu trắng từ cả ba hộp là: \[ 5 \times 6 \times 2 = 60 \] Cuối cùng, tổng số cách lấy 3 quả cầu có cùng màu là: \[ 60 + 60 + 60 = 180 \] Vậy, có tất cả 180 cách lấy để cuối cùng được 3 quả cầu có màu giống nhau. Câu 8. Trước hết, ta tính tổng số cách chọn 3 viên bi từ 9 viên bi: \[ C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \] a) Lấy được 3 viên bi khác có đủ 3 màu: Ta cần chọn 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng. Số cách chọn như vậy là: \[ C_4^1 \times C_3^1 \times C_2^1 = 4 \times 3 \times 2 = 24 \] Xác suất là: \[ P_a = \frac{24}{84} = \frac{2}{7} \] b) Lấy được 3 viên bi trong đó có 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ: Ta cần chọn 2 viên bi xanh từ 4 viên và 1 viên bi đỏ từ 3 viên. Số cách chọn như vậy là: \[ C_4^2 \times C_3^1 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 3 = 6 \times 3 = 18 \] Xác suất là: \[ P_b = \frac{18}{84} = \frac{3}{14} \] c) Lấy được 3 viên bi trong đó có 2 viên bi xanh: Ta cần chọn 2 viên bi xanh từ 4 viên và 1 viên bi từ 5 viên còn lại (3 viên đỏ + 2 viên vàng). Số cách chọn như vậy là: \[ C_4^2 \times C_5^1 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 5 = 6 \times 5 = 30 \] Xác suất là: \[ P_c = \frac{30}{84} = \frac{5}{14} \] d) Lấy được 3 viên bi trong đó có ít nhất 1 viên bi vàng: Ta tính số cách chọn 3 viên bi không có viên bi vàng nào: \[ C_7^3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \] Số cách chọn 3 viên bi có ít nhất 1 viên bi vàng là: \[ 84 - 35 = 49 \] Xác suất là: \[ P_d = \frac{49}{84} = \frac{7}{12} \] Đáp số: a) $\frac{2}{7}$ b) $\frac{3}{14}$ c) $\frac{5}{14}$ d) $\frac{7}{12}$