ywngndkdkdke

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng biểu thức đã cho và xác định biểu thức nào đúng theo yêu cầu của đề bài. Chúng ta sẽ kiểm tra từng biểu thức một cách chi tiết. A. \(x^3 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1\) B. \(x^3 - 5x^4 - 10x^3 + 10x^2 - 5x + 1\) C. \(x^3 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1\) D. \(5x^5 + 10x^4 + 10x^3 + 5x^2 + 5x + 1\) Chúng ta sẽ kiểm tra từng biểu thức để xem liệu chúng có thể đúng hay không. Kiểm tra biểu thức A: \(x^3 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1\) - Biểu thức này có các hạng tử \(x^3, 5x^4, 10x^3, 10x^2, 5x, 1\). - Các hệ số không tuân theo quy luật nhị thức Newton. Kiểm tra biểu thức B: \(x^3 - 5x^4 - 10x^3 + 10x^2 - 5x + 1\) - Biểu thức này có các hạng tử \(x^3, -5x^4, -10x^3, 10x^2, -5x, 1\). - Các hệ số không tuân theo quy luật nhị thức Newton. Kiểm tra biểu thức C: \(x^3 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1\) - Biểu thức này có các hạng tử \(x^3, -5x^4, 10x^3, -10x^2, 5x, -1\). - Các hệ số tuân theo quy luật nhị thức Newton: \(1, -5, 10, -10, 5, -1\). Kiểm tra biểu thức D: \(5x^5 + 10x^4 + 10x^3 + 5x^2 + 5x + 1\) - Biểu thức này có các hạng tử \(5x^5, 10x^4, 10x^3, 5x^2, 5x, 1\). - Các hệ số không tuân theo quy luật nhị thức Newton. Từ các kiểm tra trên, chúng ta thấy rằng biểu thức C là biểu thức duy nhất tuân theo quy luật nhị thức Newton. Vậy đáp án đúng là: C. \(x^3 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1\). Câu 2: Ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển biểu thức $(x - y)^5$. Công thức nhị thức Newton cho khai triển $(a + b)^n$ là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Áp dụng công thức này cho $(x - y)^5$, ta có: \[ (x - y)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} (-y)^k \] Ta sẽ tính từng hạng tử một: 1. Khi $k = 0$: \[ \binom{5}{0} x^{5-0} (-y)^0 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 = x^5 \] 2. Khi $k = 1$: \[ \binom{5}{1} x^{5-1} (-y)^1 = 5 \cdot x^4 \cdot (-y) = -5x^4y \] 3. Khi $k = 2$: \[ \binom{5}{2} x^{5-2} (-y)^2 = 10 \cdot x^3 \cdot y^2 = 10x^3y^2 \] 4. Khi $k = 3$: \[ \binom{5}{3} x^{5-3} (-y)^3 = 10 \cdot x^2 \cdot (-y^3) = -10x^2y^3 \] 5. Khi $k = 4$: \[ \binom{5}{4} x^{5-4} (-y)^4 = 5 \cdot x \cdot y^4 = 5xy^4 \] 6. Khi $k = 5$: \[ \binom{5}{5} x^{5-5} (-y)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-y^5) = -y^5 \] Ghép tất cả các hạng tử lại, ta có: \[ (x - y)^5 = x^5 - 5x^4y + 10x^3y^2 - 10x^2y^3 + 5xy^4 - y^5 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~x^5 - 5x^4y + 10x^3y^2 - 10x^2y^3 + 5xy^4 - y^5 \] Câu 3: Để khai triển nhị thức $(x-2)^3$, ta sử dụng công thức khai triển $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Trong đó, $a = x$ và $b = 2$. Ta thay vào công thức: \[ (x-2)^3 = x^3 - 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 - 2^3 \] Tiếp theo, ta thực hiện các phép nhân: \[ = x^3 - 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 4 - 8 \] \[ = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \] Vậy khai triển của $(x-2)^3$ là $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{x^3 - 6x^2 + 12x - 8} \] Câu 4: Để khai triển nhị thức $(3x + 4)^5$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó, $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức. Áp dụng công thức này cho $(3x + 4)^5$, ta có: \[ (3x + 4)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (3x)^{5-k} 4^k \] Ta sẽ tính từng hạng tử: 1. Khi $k = 0$: \[ \binom{5}{0} (3x)^{5-0} 4^0 = 1 \cdot (3x)^5 \cdot 1 = 243x^5 \] 2. Khi $k = 1$: \[ \binom{5}{1} (3x)^{5-1} 4^1 = 5 \cdot (3x)^4 \cdot 4 = 5 \cdot 81x^4 \cdot 4 = 1620x^4 \] 3. Khi $k = 2$: \[ \binom{5}{2} (3x)^{5-2} 4^2 = 10 \cdot (3x)^3 \cdot 16 = 10 \cdot 27x^3 \cdot 16 = 4320x^3 \] 4. Khi $k = 3$: \[ \binom{5}{3} (3x)^{5-3} 4^3 = 10 \cdot (3x)^2 \cdot 64 = 10 \cdot 9x^2 \cdot 64 = 5760x^2 \] 5. Khi $k = 4$: \[ \binom{5}{4} (3x)^{5-4} 4^4 = 5 \cdot (3x)^1 \cdot 256 = 5 \cdot 3x \cdot 256 = 3840x \] 6. Khi $k = 5$: \[ \binom{5}{5} (3x)^{5-5} 4^5 = 1 \cdot (3x)^0 \cdot 1024 = 1024 \] Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có: \[ (3x + 4)^5 = 243x^5 + 1620x^4 + 4320x^3 + 5760x^2 + 3840x + 1024 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~243x^5 + 405x^4 + 4320x^3 + 5760x^2 + 3840x + 1024} \] Câu 5: Để khai triển nhị thức $(1 - 2x)^3$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = -2x\) và \(n = 3\). Ta sẽ áp dụng công thức này từng bước: 1. Tính các hệ số nhị thức: \[ \binom{3}{0} = 1, \quad \binom{3}{1} = 3, \quad \binom{3}{2} = 3, \quad \binom{3}{3} = 1 \] 2. Áp dụng công thức: \[ (1 - 2x)^3 = \binom{3}{0} \cdot 1^3 \cdot (-2x)^0 + \binom{3}{1} \cdot 1^2 \cdot (-2x)^1 + \binom{3}{2} \cdot 1^1 \cdot (-2x)^2 + \binom{3}{3} \cdot 1^0 \cdot (-2x)^3 \] 3. Thực hiện các phép nhân: \[ = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot (-2x) + 3 \cdot 1 \cdot (4x^2) + 1 \cdot 1 \cdot (-8x^3) \] \[ = 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3 \] Như vậy, khai triển của $(1 - 2x)^3$ là: \[ 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3 \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ C.~1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 - 80x^4 - 32x^3 \] Tuy nhiên, đáp án này không chính xác vì nó có nhiều hạng tử hơn và không khớp với kết quả khai triển thực tế. Đáp án đúng là: \[ 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3 \] Do đó, không có đáp án nào trong các lựa chọn A, B, C, D đúng với kết quả khai triển của $(1 - 2x)^3$. Câu 6: Để xác định đa thức \( P(x) = 32x^3 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \) là khai triển của nhị thức nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án đã cho. A. \( (1 - 2x)^3 \) Ta khai triển \( (1 - 2x)^3 \): \[ (1 - 2x)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot 2x + 3 \cdot 1 \cdot (2x)^2 - (2x)^3 = 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3 \] Nhìn thấy rằng khai triển này không giống với đa thức \( P(x) \). B. \( (1 + 2x)^3 \) Ta khai triển \( (1 + 2x)^3 \): \[ (1 + 2x)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot 2x + 3 \cdot 1 \cdot (2x)^2 + (2x)^3 = 1 + 6x + 12x^2 + 8x^3 \] Nhìn thấy rằng khai triển này cũng không giống với đa thức \( P(x) \). C. \( (2x - 1)^5 \) Ta khai triển \( (2x - 1)^5 \): \[ (2x - 1)^5 = (2x)^5 - 5 \cdot (2x)^4 \cdot 1 + 10 \cdot (2x)^3 \cdot 1^2 - 10 \cdot (2x)^2 \cdot 1^3 + 5 \cdot (2x) \cdot 1^4 - 1^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \] Nhìn thấy rằng khai triển này giống với đa thức \( P(x) \). D. \( (x - 1)^2 \) Ta khai triển \( (x - 1)^2 \): \[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \] Nhìn thấy rằng khai triển này không giống với đa thức \( P(x) \). Do đó, đa thức \( P(x) = 32x^3 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \) là khai triển của nhị thức \( (2x - 1)^5 \). Đáp án đúng là: \( C.~(2x - 1)^5 \). Câu 7: Để khai triển nhị thức $(2x + y)^3$, ta sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: \[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] Trong đó, \(a = 2x\) và \(b = y\). Thay vào công thức, ta có: \[ (2x + y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(y) + 3(2x)(y)^2 + y^3 \] Tính từng hạng tử: 1. \((2x)^3 = 8x^3\) 2. \(3(2x)^2(y) = 3 \cdot 4x^2 \cdot y = 12x^2y\) 3. \(3(2x)(y)^2 = 3 \cdot 2x \cdot y^2 = 6xy^2\) 4. \(y^3 = y^3\) Vậy khai triển của \((2x + y)^3\) là: \[ (2x + y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 \] So sánh với các đáp án đã cho: - Đáp án A: \(32x^5 + 16x^4y + 8x^3y^2 + 4x^3y^3 + 2xy^4 + y^3\) - Đáp án B: \(32x^5 + 80x^4y + 80x^3y^2 + 40x^2y^3 + 10xy^4 + y^3\) - Đáp án C: \(2x^5 + 10x^4y + 20x^3y^2 + 20x^3y^3 + 10xy^4 + y^3\) - Đáp án D: \(32x^5 + 10000x^4y + 80000x^3y^2 + 400x^2y^3 + 10xy^4 + y^3\) Không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, theo công thức khai triển nhị thức Newton, kết quả đúng là: \[ (2x + y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 \] Câu 8: Đa thức \( P(x) = x^5 - 5x^4y + 10x^3y^2 - 10x^2y^3 + 5xy^4 - y^5 \) là khai triển của nhị thức nào dưới đây? Ta nhận thấy rằng đa thức \( P(x) \) có dạng giống với khai triển nhị thức Newton của \( (a - b)^n \). Cụ thể, ta có: \[ (a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5 \] So sánh với \( P(x) = x^5 - 5x^4y + 10x^3y^2 - 10x^2y^3 + 5xy^4 - y^5 \), ta thấy rằng: \[ a = x \quad \text{và} \quad b = y \] Do đó, đa thức \( P(x) \) là khai triển của nhị thức \( (x - y)^5 \). Vậy đáp án là: \[ P(x) = (x - y)^5 \]