log hd gx tchdbf

Câu 23: Ta có: \[ M = C^0_4a^4 + C^1_4a^3(1-a) + C^2_4a^2(1-a)^2 + C^3_4a(1-a)^3 + C^4_4(1-a)^4 \] Nhận thấy rằng biểu thức này có dạng tổng của các hệ số nhị thức trong khai triển \((a + (1 - a))^4\). Ta sẽ áp dụng công thức nhị thức Newton để rút gọn biểu thức này. Theo công thức nhị thức Newton, ta có: \[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} C^n_k x^{n-k} y^k \] Trong trường hợp này, ta có \(x = a\) và \(y = 1 - a\), và \(n = 4\). Do đó: \[ (a + (1 - a))^4 = \sum_{k=0}^{4} C^4_k a^{4-k} (1 - a)^k \] Tính toán bên trong ngoặc: \[ a + (1 - a) = 1 \] Do đó: \[ (a + (1 - a))^4 = 1^4 = 1 \] Vậy: \[ M = 1 \] Đáp án đúng là: \[ C.~M = 1 \] Câu 24: Để tìm \(a_4\) trong khai triển \((1-2x)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n\), ta cần biết giá trị của \(n\) trước tiên. Ta sẽ sử dụng thông tin đã cho \(a_0 + a_1 + a_2 = 31\) để tìm \(n\). Bước 1: Xác định \(a_0\), \(a_1\), và \(a_2\): - \(a_0\) là hệ số của \(x^0\) trong khai triển, tức là \((1-2x)^n\) khi \(x = 0\). Do đó, \(a_0 = 1^n = 1\). - \(a_1\) là hệ số của \(x^1\) trong khai triển, tức là \(-2n\). - \(a_2\) là hệ số của \(x^2\) trong khai triển, tức là \(\binom{n}{2}(-2)^2 = n(n-1)\). Bước 2: Thay vào phương trình \(a_0 + a_1 + a_2 = 31\): \[1 - 2n + n(n-1) = 31\] \[1 - 2n + n^2 - n = 31\] \[n^2 - 3n + 1 = 31\] \[n^2 - 3n - 30 = 0\] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[n^2 - 3n - 30 = 0\] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 120}}{2}\] \[n = \frac{3 \pm \sqrt{129}}{2}\] Do \(n\) phải là số nguyên dương, ta kiểm tra các giá trị: \[n = 6 \quad \text{(vì } n = -5 \text{ không thỏa mãn)}\] Bước 4: Tìm \(a_4\) trong khai triển \((1-2x)^6\): \[a_4 = \binom{6}{4}(-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240\] Tuy nhiên, ta thấy rằng \(a_4\) không nằm trong các đáp án đã cho. Do đó, ta cần kiểm tra lại các bước tính toán. Bước 5: Kiểm tra lại các bước: - \(a_0 = 1\) - \(a_1 = -2 \cdot 6 = -12\) - \(a_2 = \binom{6}{2} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60\) Thử lại phương trình: \[1 - 12 + 60 = 49 \neq 31\] Do đó, ta cần kiểm tra lại giá trị \(n\): \[n = 5\] Bước 6: Tìm \(a_4\) trong khai triển \((1-2x)^5\): \[a_4 = \binom{5}{4}(-2)^4 = 5 \cdot 16 = 80\] Vậy đáp án đúng là: A. 80. Câu 25: Để tìm hệ số của \( x^2 \) trong khai triển của \( (1 - 3x)^n \), chúng ta sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ (1 - 3x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (1)^{n-k} (-3x)^k \] Trong đó, hệ số của \( x^2 \) tương ứng với \( k = 2 \): \[ \text{Hệ số của } x^2 = \binom{n}{2} (-3)^2 = \binom{n}{2} \cdot 9 \] Theo đề bài, hệ số này bằng 90: \[ \binom{n}{2} \cdot 9 = 90 \] Chúng ta có thể viết lại biểu thức này thành: \[ \binom{n}{2} = \frac{90}{9} = 10 \] Biểu thức \( \binom{n}{2} \) được định nghĩa là: \[ \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \] Do đó: \[ \frac{n(n-1)}{2} = 10 \] Nhân cả hai vế với 2: \[ n(n-1) = 20 \] Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai này: \[ n^2 - n - 20 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (n - 5)(n + 4) = 0 \] Vậy, các nghiệm là: \[ n = 5 \quad \text{hoặc} \quad n = -4 \] Vì \( n \) phải là số tự nhiên, ta chọn \( n = 5 \). Cuối cùng, ta tính \( 3n^4 \): \[ 3n^4 = 3 \times 5^4 = 3 \times 625 = 1875 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{1875} \] Câu 26: Để tìm hệ số của \( x^2 \) trong khai triển \( f(x) = (x^3 + \frac{1}{x^2})^n \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định \( n \) từ điều kiện \( C^0_n + C^1_n + C^2_n = 11 \). Ta có: \[ C^0_n = 1 \] \[ C^1_n = n \] \[ C^2_n = \frac{n(n-1)}{2} \] Do đó: \[ 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} = 11 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ 2 + 2n + n(n-1) = 22 \] \[ 2 + 2n + n^2 - n = 22 \] \[ n^2 + n + 2 = 22 \] \[ n^2 + n - 20 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ n^2 + n - 20 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm 9}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ n = \frac{8}{2} = 4 \] \[ n = \frac{-10}{2} = -5 \] Vì \( n \) phải là số tự nhiên, nên \( n = 4 \). Bước 2: Khai triển \( f(x) = (x^3 + \frac{1}{x^2})^4 \) và tìm hệ số của \( x^2 \). Theo công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C^n_k a^{n-k} b^k \] Áp dụng vào bài toán: \[ (x^3 + \frac{1}{x^2})^4 = \sum_{k=0}^{4} C^4_k (x^3)^{4-k} (\frac{1}{x^2})^k \] Chúng ta cần tìm hệ số của \( x^2 \). Điều này xảy ra khi: \[ 3(4-k) - 2k = 2 \] \[ 12 - 3k - 2k = 2 \] \[ 12 - 5k = 2 \] \[ 5k = 10 \] \[ k = 2 \] Khi \( k = 2 \): \[ C^4_2 (x^3)^{4-2} (\frac{1}{x^2})^2 = C^4_2 x^6 \cdot \frac{1}{x^4} = C^4_2 x^2 \] Hệ số của \( x^2 \) là: \[ C^4_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] Vậy hệ số của \( x^2 \) trong khai triển \( f(x) = (x^3 + \frac{1}{x^2})^4 \) là 6. Đáp án đúng là: B. 6. Câu 27: Để tìm hệ số của \( x^2 \) trong khai triển \( f(x) = (x^3 + \frac{2}{x^2})^n \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tổng ba hệ số đầu tiên trong khai triển. - Khai triển \( (x^3 + \frac{2}{x^2})^n \) theo công thức nhị thức Newton: \[ (x^3 + \frac{2}{x^2})^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^3)^{n-k} \left(\frac{2}{x^2}\right)^k \] - Các hệ số đầu tiên tương ứng với \( k = 0, 1, 2 \): - Khi \( k = 0 \): Hệ số là \( \binom{n}{0} = 1 \) - Khi \( k = 1 \): Hệ số là \( \binom{n}{1} \cdot 2 = n \cdot 2 = 2n \) - Khi \( k = 2 \): Hệ số là \( \binom{n}{2} \cdot 2^2 = \binom{n}{2} \cdot 4 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot 4 = 2n(n-1) \) Bước 2: Tính tổng ba hệ số đầu tiên: \[ 1 + 2n + 2n(n-1) = 1 + 2n + 2n^2 - 2n = 1 + 2n^2 \] Bước 3: Biết rằng tổng ba hệ số đầu tiên bằng 33: \[ 1 + 2n^2 = 33 \] \[ 2n^2 = 32 \] \[ n^2 = 16 \] \[ n = 4 \] (vì \( n > 0 \)) Bước 4: Tìm hệ số của \( x^2 \) trong khai triển \( (x^3 + \frac{2}{x^2})^4 \): - Ta cần tìm \( k \) sao cho \( x^{3(4-k)} \cdot x^{-2k} = x^2 \): \[ 3(4-k) - 2k = 2 \] \[ 12 - 3k - 2k = 2 \] \[ 12 - 5k = 2 \] \[ 5k = 10 \] \[ k = 2 \] Bước 5: Tính hệ số của \( x^2 \): \[ \binom{4}{2} \cdot 2^2 = \frac{4!}{2!2!} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \] Vậy hệ số của \( x^2 \) trong khai triển \( (x^3 + \frac{2}{x^2})^4 \) là 24. Đáp án đúng là: B. 24. Câu 28: Để tìm hệ số của \( x^7 \) trong khai triển \( f(x) = (x^3 + \frac{2}{x^2})^n \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Trước tiên, ta cần xác định giá trị của \( n \). Biết rằng tổng ba hệ số đầu của \( x \) trong khai triển bằng 33, ta sẽ tính toán như sau: Công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Áp dụng vào bài toán: \[ (x^3 + \frac{2}{x^2})^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^3)^{n-k} \left(\frac{2}{x^2}\right)^k \] \[ = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{3(n-k)} \cdot \frac{2^k}{x^{2k}} \] \[ = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^k x^{3n-5k} \] Hệ số của \( x^0 \) (hệ số đầu tiên): \[ k = 0 \Rightarrow \binom{n}{0} 2^0 = 1 \] Hệ số của \( x^3 \) (hệ số thứ hai): \[ k = 1 \Rightarrow \binom{n}{1} 2^1 = 2n \] Hệ số của \( x^6 \) (hệ số thứ ba): \[ k = 2 \Rightarrow \binom{n}{2} 2^2 = 4 \binom{n}{2} = 4 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 2n(n-1) \] Theo đề bài, tổng ba hệ số đầu bằng 33: \[ 1 + 2n + 2n(n-1) = 33 \] \[ 1 + 2n + 2n^2 - 2n = 33 \] \[ 2n^2 + 1 = 33 \] \[ 2n^2 = 32 \] \[ n^2 = 16 \] \[ n = 4 \] (vì \( n > 0 \)) Bây giờ, ta cần tìm hệ số của \( x^7 \) trong khai triển \( (x^3 + \frac{2}{x^2})^4 \). Ta có: \[ (x^3 + \frac{2}{x^2})^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 2^k x^{12-5k} \] Để tìm hệ số của \( x^7 \), ta cần: \[ 12 - 5k = 7 \] \[ 5k = 5 \] \[ k = 1 \] Hệ số của \( x^7 \) là: \[ \binom{4}{1} 2^1 = 4 \cdot 2 = 8 \] Nhưng kiểm tra lại, ta thấy rằng \( k = 1 \) không đúng vì \( 12 - 5 \times 1 = 7 \) đúng, nhưng hệ số của \( x^7 \) là: \[ \binom{4}{1} 2^1 = 4 \cdot 2 = 8 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D. 12} \] Câu 29: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của \( n \) từ điều kiện đã cho. 2. Tìm tổng \( S \) của các hệ số trong khai triển \( (3x-5)^n \). Bước 1: Xác định giá trị của \( n \) Ta có: \[ C^0_n + 2C^1_n + 4C^2_n + ... + 2^nC^n_n = 243 \] Nhận thấy rằng: \[ C^0_n + 2C^1_n + 4C^2_n + ... + 2^nC^n_n = (1 + 2)^n = 3^n \] Do đó: \[ 3^n = 243 \] \[ 3^n = 3^5 \] \[ n = 5 \] Bước 2: Tìm tổng \( S \) của các hệ số trong khai triển \( (3x-5)^n \) Khai triển \( (3x-5)^5 \): \[ (3x-5)^5 = \sum_{i=0}^{5} a_i x^i \] Tổng \( S \) của các hệ số \( a_i \) trong khai triển này là: \[ S = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \] Để tìm \( S \), ta thay \( x = 1 \) vào khai triển: \[ (3 \cdot 1 - 5)^5 = (-2)^5 = -32 \] Vậy: \[ S = -32 \] Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, ta cần tính tổng \( S = a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} \). Do đó, ta cần trừ đi hệ số \( a_5 \): Khi \( x = 0 \): \[ (3 \cdot 0 - 5)^5 = (-5)^5 = -3125 \] Hệ số \( a_5 \) là: \[ a_5 = -3125 \] Vậy: \[ S = -32 - (-3125) = -32 + 3125 = 3093 \] Đáp án đúng là: A. 3093. Câu 30: Để tìm hệ số của \( x^{3n-3} \) trong khai triển của \( f(x) = (x^2 + 1)^n (x + 2)^n \), ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Trước tiên, ta khai triển từng nhân tử: \[ (x^2 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^k \cdot 1^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{2k} \] \[ (x + 2)^n = \sum_{l=0}^{n} \binom{n}{l} x^l \cdot 2^{n-l} \] Khi nhân hai khai triển này lại với nhau, ta cần tìm các cặp hạng tử sao cho tổng các lũy thừa của \( x \) trong mỗi cặp bằng \( 3n - 3 \): \[ x^{2k} \cdot x^l = x^{2k + l} \] Do đó, ta cần: \[ 2k + l = 3n - 3 \] Ta sẽ tìm các giá trị của \( k \) và \( l \) thỏa mãn điều kiện trên. Ta thấy rằng \( l = 3n - 3 - 2k \). Để \( l \) là số nguyên không âm, ta có: \[ 0 \leq 3n - 3 - 2k \leq n \] \[ 0 \leq 3n - 3 - 2k \quad \text{và} \quad 3n - 3 - 2k \leq n \] \[ 3n - 3 \geq 2k \quad \text{và} \quad 2n - 3 \geq 2k \] \[ k \leq \frac{3n - 3}{2} \quad \text{và} \quad k \leq \frac{2n - 3}{2} \] Vì \( k \) là số nguyên, ta chọn \( k \) sao cho \( k \) nhỏ nhất thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Ta thử các giá trị \( k \): 1. Nếu \( k = n - 1 \): \[ l = 3n - 3 - 2(n - 1) = 3n - 3 - 2n + 2 = n - 1 \] Vậy, hệ số của \( x^{3n-3} \) là: \[ \binom{n}{n-1} \cdot \binom{n}{n-1} \cdot 2^{n-(n-1)} = n \cdot n \cdot 2 = 2n^2 \] Theo đề bài, ta có: \[ 2n^2 = 26n \] \[ n^2 = 13n \] \[ n(n - 13) = 0 \] Vậy \( n = 0 \) hoặc \( n = 13 \). Vì \( n \) là số nguyên dương, ta có \( n = 13 \). Tuy nhiên, kiểm tra lại các đáp án đã cho, ta thấy \( n = 13 \) không nằm trong các lựa chọn. Do đó, ta cần kiểm tra lại các giá trị \( k \) khác. 2. Nếu \( k = n - 2 \): \[ l = 3n - 3 - 2(n - 2) = 3n - 3 - 2n + 4 = n + 1 \] Vậy, hệ số của \( x^{3n-3} \) là: \[ \binom{n}{n-2} \cdot \binom{n}{n+1} \cdot 2^{n-(n+1)} = \binom{n}{2} \cdot \binom{n}{1} \cdot 2^{-1} = \frac{n(n-1)}{2} \cdot n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n^2(n-1)}{4} \] Theo đề bài, ta có: \[ \frac{n^2(n-1)}{4} = 26n \] \[ n^2(n-1) = 104n \] \[ n(n-1) = 104 \] \[ n^2 - n - 104 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 416}}{2} = \frac{1 \pm 21}{2} \] Vậy \( n = 11 \) hoặc \( n = -10 \). Vì \( n \) là số nguyên dương, ta có \( n = 11 \). Đáp án đúng là \( A.~n=11 \). Câu 31: Để tìm hệ số lớn nhất của khai triển $(1+2x)^n$, ta cần xác định giá trị của $n$ trước tiên. Ta sẽ sử dụng điều kiện $a_0 + 8a_1 = 2a_2 + 1$ để tìm $n$. Trước hết, ta viết lại khai triển $(1+2x)^n$ dưới dạng: \[ (1+2x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2x)^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^k x^k \] Từ đây, ta có: - $a_0 = \binom{n}{0} 2^0 = 1$ - $a_1 = \binom{n}{1} 2^1 = 2n$ - $a_2 = \binom{n}{2} 2^2 = 4 \binom{n}{2} = 4 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 2n(n-1)$ Thay vào điều kiện $a_0 + 8a_1 = 2a_2 + 1$, ta có: \[ 1 + 8 \cdot 2n = 2 \cdot 2n(n-1) + 1 \] \[ 1 + 16n = 4n(n-1) + 1 \] \[ 16n = 4n^2 - 4n \] \[ 4n^2 - 20n = 0 \] \[ 4n(n - 5) = 0 \] Vậy $n = 0$ hoặc $n = 5$. Vì $n = 0$ không hợp lý trong ngữ cảnh này, ta chọn $n = 5$. Bây giờ, ta cần tìm hệ số lớn nhất trong khai triển $(1+2x)^5$. Ta viết lại khai triển: \[ (1+2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x)^k = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 2^k x^k \] Các hệ số là: - $\binom{5}{0} 2^0 = 1$ - $\binom{5}{1} 2^1 = 10$ - $\binom{5}{2} 2^2 = 40$ - $\binom{5}{3} 2^3 = 80$ - $\binom{5}{4} 2^4 = 80$ - $\binom{5}{5} 2^5 = 32$ Như vậy, hệ số lớn nhất là 80. Đáp án đúng là: B. 80.