Giải hộ em

Câu 52: a) Trọng tâm của tam giác ABC là: \[ G = \left( \frac{6 + (-1) + 1}{3}, \frac{1 + 3 + (-1)}{3}, \frac{0 + 2 + 1}{3} \right) = \left( \frac{6 - 1 + 1}{3}, \frac{1 + 3 - 1}{3}, \frac{0 + 2 + 1}{3} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{3}{3}, \frac{3}{3} \right) = (2, 1, 1) \] Vậy trọng tâm của tam giác ABC là \( G(2, 1, 1) \). b) Biết C là trọng tâm của tam giác ABE. Tọa độ điểm E là: \[ C = \left( \frac{6 + (-1) + x_E}{3}, \frac{1 + 3 + y_E}{3}, \frac{0 + 2 + z_E}{3} \right) = (1, -1, 1) \] Từ đó ta có: \[ \frac{6 - 1 + x_E}{3} = 1 \Rightarrow 5 + x_E = 3 \Rightarrow x_E = -2 \] \[ \frac{1 + 3 + y_E}{3} = -1 \Rightarrow 4 + y_E = -3 \Rightarrow y_E = -7 \] \[ \frac{0 + 2 + z_E}{3} = 1 \Rightarrow 2 + z_E = 3 \Rightarrow z_E = 1 \] Vậy tọa độ điểm E là \( E(-2, -7, 1) \). c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oyz) bằng: \[ d(A, (Oyz)) = |x_A| = |6| = 6 \] d) Xét điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho \( |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = 3\sqrt{5} \). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM bằng: \[ M(0, y_M, z_M) \] \[ \overrightarrow{MA} = (6 - 0, 1 - y_M, 0 - z_M) = (6, 1 - y_M, -z_M) \] \[ \overrightarrow{MB} = (-1 - 0, 3 - y_M, 2 - z_M) = (-1, 3 - y_M, 2 - z_M) \] \[ \overrightarrow{MC} = (1 - 0, -1 - y_M, 1 - z_M) = (1, -1 - y_M, 1 - z_M) \] \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (6 - 1 + 1, 1 - y_M + 3 - y_M - 1 - y_M, -z_M + 2 - z_M + 1 - z_M) = (6, 3 - 3y_M, 3 - 3z_M) \] \[ |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = \sqrt{6^2 + (3 - 3y_M)^2 + (3 - 3z_M)^2} = 3\sqrt{5} \] \[ \sqrt{36 + 9(1 - y_M)^2 + 9(1 - z_M)^2} = 3\sqrt{5} \] \[ 36 + 9[(1 - y_M)^2 + (1 - z_M)^2] = 45 \] \[ (1 - y_M)^2 + (1 - z_M)^2 = 1 \] Điểm M nằm trên đường tròn tâm (1, 1) bán kính 1 trong mặt phẳng (Oyz). Độ dài đoạn thẳng AM lớn nhất khi M nằm xa A nhất trên đường tròn này. Ta có: \[ AM = \sqrt{(6 - 0)^2 + (1 - y_M)^2 + (0 - z_M)^2} = \sqrt{36 + (1 - y_M)^2 + (1 - z_M)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \] Vậy giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM là \( \sqrt{37} \). Đáp án: a) Trọng tâm của tam giác ABC là \( G(2, 1, 1) \). b) Tọa độ điểm E là \( E(-2, -7, 1) \). c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oyz) bằng 6. d) Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM là \( \sqrt{37} \). Câu 53: a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 1; 1 - 2; 1 - 3) = (-3; -1; -2) \] b) Độ dài của đoạn thẳng AC là: \[ |AC| = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (3 - 2)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42} \] c) Góc $\widehat{BAC}$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Ta tính $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-3 - 1; 3 - 2; -2 - 3) = (-4; 1; -5) \] Tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3)(-4) + (-1)(1) + (-2)(-5) = 12 - 1 + 10 = 21 \] Ta có: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42} \] Công thức cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{21}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{42}} = \frac{21}{\sqrt{588}} = \frac{21}{2\sqrt{147}} = \frac{21}{2 \cdot 7\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vì $\cos(\widehat{BAC}) > 0$, nên góc $\widehat{BAC}$ là góc nhọn, không phải góc tù. d) Xét các điểm M trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn điều kiện $\widehat{AMB}=90^0$. Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0. Gọi M(a, 0, c). Điều kiện $\widehat{AMB}=90^0$ tức là $\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{BM}$: \[ \overrightarrow{AM} = (a - 1, -2, c - 3) \] \[ \overrightarrow{BM} = (a + 2, -1, c - 1) \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (a - 1)(a + 2) + (-2)(-1) + (c - 3)(c - 1) = 0 \] \[ (a - 1)(a + 2) + 2 + (c - 3)(c - 1) = 0 \] \[ a^2 + a - 2 + 2 + c^2 - 4c + 3 = 0 \] \[ a^2 + a + c^2 - 4c + 3 = 0 \] \[ a^2 + a + c^2 - 4c + 3 = 0 \] Để tìm giá trị lớn nhất của OM, ta viết lại phương trình: \[ OM = \sqrt{a^2 + c^2} \] Ta thấy rằng để tối đa hóa $\sqrt{a^2 + c^2}$, ta cần tối đa hóa $a^2 + c^2$. Từ phương trình trên, ta thấy rằng $a^2 + a + c^2 - 4c + 3 = 0$. Ta hoàn thành bình phương: \[ a^2 + a + \left(c - 2\right)^2 - 4 + 3 = 0 \] \[ a^2 + a + \left(c - 2\right)^2 - 1 = 0 \] \[ a^2 + a + \left(c - 2\right)^2 = 1 \] Đây là phương trình của một elip trong mặt phẳng (a, c). Để tối đa hóa $a^2 + c^2$, ta cần tìm điểm xa nhất từ gốc tọa độ trên elip này. Ta thấy rằng khi $a = 0$ và $c = 3$, ta có: \[ 0^2 + 0 + (3 - 2)^2 = 1 \] \[ OM = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \] Vậy giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM là 3.