giải đúng với

Câu 3. Để tính tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sườn núi: Mặt phẳng sườn núi có thể được coi là mặt phẳng xy (do đó, vectơ pháp tuyến của nó là $\vec{n} = (0, 0, 1)$). 2. Tìm vectơ chỉ hướng của các dây neo: - Vectơ chỉ hướng từ điểm O đến điểm A là $\vec{OA} = (3, -4, 2)$. - Vectơ chỉ hướng từ điểm O đến điểm B là $\vec{OB} = (-5, -2, 1)$. 3. Tìm vectơ chỉ hướng từ gốc cây thông đến điểm neo: - Điểm neo trên dây OA là $(0, 0, 5)$, do đó vectơ chỉ hướng từ O đến điểm này là $\vec{OA'} = (3, -4, 5-2) = (3, -4, 3)$. - Điểm neo trên dây OB là $(0, 0, 5)$, do đó vectơ chỉ hướng từ O đến điểm này là $\vec{OB'} = (-5, -2, 5-1) = (-5, -2, 4)$. 4. Tính góc giữa mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi: Góc giữa một vectơ và mặt phẳng được tính bằng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] - Với $\vec{OA'} = (3, -4, 3)$: \[ \cos(\theta_1) = \frac{|(3, -4, 3) \cdot (0, 0, 1)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 3^2} \cdot 1} = \frac{|3|}{\sqrt{9 + 16 + 9}} = \frac{3}{\sqrt{34}} \] \[ \theta_1 = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right) \] - Với $\vec{OB'} = (-5, -2, 4)$: \[ \cos(\theta_2) = \frac{|(-5, -2, 4) \cdot (0, 0, 1)|}{\sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + 4^2} \cdot 1} = \frac{|4|}{\sqrt{25 + 4 + 16}} = \frac{4}{\sqrt{45}} \] \[ \theta_2 = \cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{45}}\right) \] 5. Tính tổng các góc: \[ \theta_{\text{tổng}} = \theta_1 + \theta_2 \] Sử dụng máy tính để tính các giá trị cụ thể: \[ \theta_1 \approx \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right) \approx 59.04^\circ \] \[ \theta_2 \approx \cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{45}}\right) \approx 53.13^\circ \] \[ \theta_{\text{tổng}} \approx 59.04^\circ + 53.13^\circ \approx 112.17^\circ \] Do đó, tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi là khoảng 112 độ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ). Câu 4. Xác suất để 1 chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ nhất là 0,98. Xác suất để 1 chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ hai là 0,95. Xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là: 0,98 × 0,95 = 0,931 Vậy xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là 0,931. Làm tròn đến 2 chữ số thập phân, ta được 0,93. Đáp số: 0,93 Câu 5. Để tính mực nước trong hồ chứa tại thời điểm $t = 5$ giờ, ta cần tìm hàm số $h(t)$ từ đạo hàm $h'(t)$ đã cho và sử dụng điều kiện ban đầu $h(0) = 6$. Bước 1: Tìm hàm số $h(t)$ từ đạo hàm $h'(t)$ Ta có: \[ h'(t) = \frac{1}{216} (5t^2 - 120t + 480) \] Tích phân hai vế để tìm $h(t)$: \[ h(t) = \int h'(t) \, dt = \int \frac{1}{216} (5t^2 - 120t + 480) \, dt \] \[ h(t) = \frac{1}{216} \int (5t^2 - 120t + 480) \, dt \] \[ h(t) = \frac{1}{216} \left( \frac{5t^3}{3} - 60t^2 + 480t \right) + C \] \[ h(t) = \frac{5t^3}{648} - \frac{60t^2}{216} + \frac{480t}{216} + C \] \[ h(t) = \frac{5t^3}{648} - \frac{5t^2}{18} + \frac{20t}{9} + C \] Bước 2: Xác định hằng số C bằng điều kiện ban đầu $h(0) = 6$ Thay $t = 0$ vào $h(t)$: \[ h(0) = \frac{5(0)^3}{648} - \frac{5(0)^2}{18} + \frac{20(0)}{9} + C = 6 \] \[ C = 6 \] Do đó, hàm số $h(t)$ là: \[ h(t) = \frac{5t^3}{648} - \frac{5t^2}{18} + \frac{20t}{9} + 6 \] Bước 3: Tính mực nước trong hồ tại thời điểm $t = 5$ giờ Thay $t = 5$ vào $h(t)$: \[ h(5) = \frac{5(5)^3}{648} - \frac{5(5)^2}{18} + \frac{20(5)}{9} + 6 \] \[ h(5) = \frac{5 \cdot 125}{648} - \frac{5 \cdot 25}{18} + \frac{100}{9} + 6 \] \[ h(5) = \frac{625}{648} - \frac{125}{18} + \frac{100}{9} + 6 \] \[ h(5) = \frac{625}{648} - \frac{125 \cdot 36}{648} + \frac{100 \cdot 72}{648} + 6 \] \[ h(5) = \frac{625 - 4500 + 7200}{648} + 6 \] \[ h(5) = \frac{3325}{648} + 6 \] \[ h(5) \approx 5.13 + 6 \] \[ h(5) \approx 11.13 \] Vậy mực nước trong hồ chứa tại thời điểm $t = 5$ giờ là khoảng 11.1 mét (làm tròn đến 1 chữ số thập phân). Câu 6. Để tính diện tích cần sơn, ta sẽ chia hình thành các phần dễ tính toán hơn. 1. Diện tích hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật là: \[ S_{\text{chữ nhật}} = 4 \times 2 = 8 \text{ m}^2 \] 2. Diện tích hai parabol: Ta sẽ tính diện tích của một parabol rồi nhân đôi. Phương trình của parabol là \( y = -x^2 + 2 \). Diện tích dưới parabol từ \( x = -2 \) đến \( x = 2 \): \[ S_{\text{parabol}} = 2 \int_{-2}^{2} (-x^2 + 2) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{-2}^{2} (-x^2 + 2) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x \right]_{-2}^{2} \] Thay cận: \[ \left( -\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + 2 \cdot (-2) \right) \] \[ = \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) \] \[ = \left( -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{12}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{4}{3} \right) - \left( -\frac{4}{3} \right) \] \[ = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \] Vậy diện tích của một parabol là: \[ S_{\text{parabol}} = 2 \times \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \text{ m}^2 \] 3. Tổng diện tích cần sơn: Tổng diện tích cần sơn là tổng diện tích hình chữ nhật và hai parabol: \[ S_{\text{tổng}} = 8 + \frac{16}{3} = \frac{24}{3} + \frac{16}{3} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \text{ m}^2 \] 4. Chi phí sơn cổng: Chi phí sơn cổng là: \[ \text{Chi phí} = 13.33 \times 300.000 = 3,999,000 \text{ đồng} \approx 4,0 \text{ triệu đồng} \] Vậy ông An phải trả cho bên thi công khoảng 4,0 triệu đồng để sơn cổng.