njjjjjjjjjjj

Câu 1. Để tính diện tích hai cánh cửa cổng, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của parabol: - Parabol có đỉnh tại \( I(0;2) \) và đi qua điểm \( B\left(\frac{5}{2}; \frac{3}{2}\right) \). - Phương trình tổng quát của parabol có đỉnh tại \( (0,2) \) là: \[ y = a x^2 + 2 \] - Thay tọa độ điểm \( B \left(\frac{5}{2}; \frac{3}{2}\right) \) vào phương trình: \[ \frac{3}{2} = a \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 2 \] \[ \frac{3}{2} = a \cdot \frac{25}{4} + 2 \] \[ \frac{3}{2} - 2 = a \cdot \frac{25}{4} \] \[ -\frac{1}{2} = a \cdot \frac{25}{4} \] \[ a = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{25} = -\frac{2}{25} \] - Vậy phương trình của parabol là: \[ y = -\frac{2}{25} x^2 + 2 \] 2. Tính diện tích một cánh cửa: - Diện tích một cánh cửa là diện tích giữa đường thẳng \( y = 2 \) và parabol từ \( x = 0 \) đến \( x = \frac{5}{2} \). - Diện tích này được tính bằng tích phân: \[ S = \int_{0}^{\frac{5}{2}} \left(2 - \left(-\frac{2}{25} x^2 + 2\right)\right) dx \] \[ S = \int_{0}^{\frac{5}{2}} \left(\frac{2}{25} x^2\right) dx \] \[ S = \frac{2}{25} \int_{0}^{\frac{5}{2}} x^2 dx \] \[ S = \frac{2}{25} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{5}{2}} \] \[ S = \frac{2}{25} \cdot \frac{1}{3} \left( \left(\frac{5}{2}\right)^3 - 0 \right) \] \[ S = \frac{2}{75} \cdot \frac{125}{8} \] \[ S = \frac{250}{600} = \frac{5}{12} \] 3. Tính diện tích hai cánh cửa: - Diện tích hai cánh cửa là: \[ 2S = 2 \times \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0.83 \] Vậy diện tích hai cánh cửa cổng là khoảng 0.83 đơn vị diện tích. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm M và N. 2. Xác định phương trình của đường thẳng $\Delta$. 3. Tính giá trị của $a$, $b$, $y_0$, và $z_0$. 4. Tính $a^2 + b^2 + b^2_6 + z^2_6$. Bước 1: Tìm tọa độ của điểm M và N Vì A là trung điểm của đoạn thẳng MN, nên ta có: \[ M = (x_1, y_1, z_1) \] \[ N = (x_2, y_2, z_2) \] \[ A = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) = (1, -1, 2) \] Từ đó suy ra: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ y_1 + y_2 = -2 \] \[ z_1 + z_2 = 4 \] Bước 2: Xác định phương trình của đường thẳng $\Delta$ Đường thẳng $\Delta$ cắt d và (P) lần lượt tại M và N. Ta có phương trình của d: \[ d: \frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{1} \] Gọi t là tham số trên đường thẳng d, ta có: \[ x = 2t - 1 \] \[ y = t \] \[ z = t + 2 \] Thay vào phương trình của mặt phẳng (P): \[ (2t - 1) + t - 2(t + 2) + 5 = 0 \] \[ 2t - 1 + t - 2t - 4 + 5 = 0 \] \[ t = 0 \] Khi t = 0, ta có: \[ x = -1 \] \[ y = 0 \] \[ z = 2 \] Vậy điểm M có tọa độ (-1, 0, 2). Bước 3: Tính giá trị của $a$, $b$, $y_0$, và $z_0$ Vì A là trung điểm của đoạn thẳng MN, nên ta có: \[ x_2 = 3 \] \[ y_2 = -2 \] \[ z_2 = 2 \] Phương trình của đường thẳng $\Delta$ có dạng: \[ \frac{x + 9}{a} = \frac{y - y_0}{3} = \frac{z - z_0}{b} \] Ta có: \[ \frac{-1 + 9}{a} = \frac{0 - y_0}{3} = \frac{2 - z_0}{b} \] \[ \frac{8}{a} = \frac{-y_0}{3} = \frac{2 - z_0}{b} \] Từ đó suy ra: \[ a = 8 \] \[ b = 2 \] \[ y_0 = 0 \] \[ z_0 = 2 \] Bước 4: Tính $a^2 + b^2 + b^2_6 + z^2_6$ \[ a^2 = 8^2 = 64 \] \[ b^2 = 2^2 = 4 \] \[ b^2_6 = 2^2 = 4 \] \[ z^2_6 = 2^2 = 4 \] Vậy: \[ a^2 + b^2 + b^2_6 + z^2_6 = 64 + 4 + 4 + 4 = 76 \] Đáp số: 76 Câu 4. Để tìm tọa độ tâm \( I(a; b; c) \) của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng \( (Oyz) \) và đi qua các điểm \( M(2;1;4) \), \( N(5;0;0) \), \( P(1;-3;1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm bán kính \( R \) của mặt cầu: Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng \( (Oyz) \), nên khoảng cách từ tâm \( I \) đến mặt phẳng \( (Oyz) \) bằng bán kính \( R \). Mặt phẳng \( (Oyz) \) có phương trình \( x = 0 \), do đó: \[ R = |a| \] 2. Viết phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu có tâm \( I(a; b; c) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Thay \( R = |a| \), ta có: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = a^2 \] 3. Thay tọa độ các điểm \( M \), \( N \), \( P \) vào phương trình mặt cầu: - Với điểm \( M(2;1;4) \): \[ (2 - a)^2 + (1 - b)^2 + (4 - c)^2 = a^2 \] - Với điểm \( N(5;0;0) \): \[ (5 - a)^2 + (0 - b)^2 + (0 - c)^2 = a^2 \] - Với điểm \( P(1;-3;1) \): \[ (1 - a)^2 + (-3 - b)^2 + (1 - c)^2 = a^2 \] 4. Giải hệ phương trình: Ta có ba phương trình: \[ (2 - a)^2 + (1 - b)^2 + (4 - c)^2 = a^2 \quad \text{(1)} \] \[ (5 - a)^2 + b^2 + c^2 = a^2 \quad \text{(2)} \] \[ (1 - a)^2 + (-3 - b)^2 + (1 - c)^2 = a^2 \quad \text{(3)} \] Giải phương trình (2): \[ (5 - a)^2 + b^2 + c^2 = a^2 \] \[ 25 - 10a + a^2 + b^2 + c^2 = a^2 \] \[ 25 - 10a + b^2 + c^2 = 0 \] \[ b^2 + c^2 = 10a - 25 \quad \text{(4)} \] Thay \( b^2 + c^2 = 10a - 25 \) vào phương trình (1) và (3): \[ (2 - a)^2 + (1 - b)^2 + (4 - c)^2 = a^2 \] \[ 4 - 4a + a^2 + 1 - 2b + b^2 + 16 - 8c + c^2 = a^2 \] \[ 21 - 4a - 2b - 8c + b^2 + c^2 = 0 \] \[ 21 - 4a - 2b - 8c + 10a - 25 = 0 \] \[ 6a - 2b - 8c - 4 = 0 \] \[ 3a - b - 4c = 2 \quad \text{(5)} \] Giải phương trình (3): \[ (1 - a)^2 + (-3 - b)^2 + (1 - c)^2 = a^2 \] \[ 1 - 2a + a^2 + 9 + 6b + b^2 + 1 - 2c + c^2 = a^2 \] \[ 11 - 2a + 6b - 2c + b^2 + c^2 = 0 \] \[ 11 - 2a + 6b - 2c + 10a - 25 = 0 \] \[ 8a + 6b - 2c - 14 = 0 \] \[ 4a + 3b - c = 7 \quad \text{(6)} \] Giải hệ phương trình (5) và (6): \[ 3a - b - 4c = 2 \quad \text{(5)} \] \[ 4a + 3b - c = 7 \quad \text{(6)} \] Nhân phương trình (5) với 3: \[ 9a - 3b - 12c = 6 \quad \text{(7)} \] Cộng phương trình (6) và (7): \[ 13a - 13c = 13 \] \[ a - c = 1 \quad \text{(8)} \] Thay \( a = c + 1 \) vào phương trình (6): \[ 4(c + 1) + 3b - c = 7 \] \[ 4c + 4 + 3b - c = 7 \] \[ 3c + 3b = 3 \] \[ c + b = 1 \quad \text{(9)} \] Thay \( b = 1 - c \) vào phương trình (4): \[ (1 - c)^2 + c^2 = 10(c + 1) - 25 \] \[ 1 - 2c + c^2 + c^2 = 10c + 10 - 25 \] \[ 2c^2 - 2c + 1 = 10c - 15 \] \[ 2c^2 - 12c + 16 = 0 \] \[ c^2 - 6c + 8 = 0 \] \[ (c - 2)(c - 4) = 0 \] Vậy \( c = 2 \) hoặc \( c = 4 \). Kiểm tra điều kiện \( a + b + c < 5 \): - Nếu \( c = 2 \): \[ a = c + 1 = 3 \] \[ b = 1 - c = -1 \] \[ a + b + c = 3 - 1 + 2 = 4 < 5 \] - Nếu \( c = 4 \): \[ a = c + 1 = 5 \] \[ b = 1 - c = -3 \] \[ a + b + c = 5 - 3 + 4 = 6 > 5 \] Do đó, \( c = 2 \). Đáp án: \[ \boxed{2} \] Câu 5. Để tính xác suất của biến cố B: "Hai viên bi lấy ra có cùng màu", chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ hình cây để phân tích các trường hợp có thể xảy ra. 1. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất: - Xác suất lấy ra viên bi xanh từ hộp thứ nhất là $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. - Xác suất lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ nhất là $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. 2. Chuyển viên bi đã lấy ra sang hộp thứ hai và lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai: - Nếu lấy ra viên bi xanh từ hộp thứ nhất: - Hộp thứ hai lúc này có 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. - Xác suất lấy ra viên bi xanh từ hộp thứ hai là $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. - Xác suất lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ hai là $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. - Nếu lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ nhất: - Hộp thứ hai lúc này có 5 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. - Xác suất lấy ra viên bi xanh từ hộp thứ hai là $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. - Xác suất lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ hai là $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. 3. Tính xác suất của biến cố B: "Hai viên bi lấy ra có cùng màu": - Trường hợp 1: Lấy ra viên bi xanh từ hộp thứ nhất và viên bi xanh từ hộp thứ hai. - Xác suất của trường hợp này là $\frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25}$. - Trường hợp 2: Lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ nhất và viên bi đỏ từ hộp thứ hai. - Xác suất của trường hợp này là $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$. 4. Tổng xác suất của biến cố B: - Xác suất của biến cố B là tổng xác suất của các trường hợp có cùng màu: \[ P(B) = \frac{6}{25} + \frac{3}{10} = \frac{6}{25} + \frac{15}{50} = \frac{12}{50} + \frac{15}{50} = \frac{27}{50} \] Vậy xác suất của biến cố B: "Hai viên bi lấy ra có cùng màu" là $\frac{27}{50}$. Câu 6. Xác suất chọn được nam không cận thị là: $(1 - 0,4) : 2 = 0,3$ Đáp số: 0,3