giải giùm tui với

Câu 4: Để tìm độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + 5x + 7}{x + 2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 + 5x + 7}{x + 2} \). Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(x^2 + 5x + 7)'(x + 2) - (x^2 + 5x + 7)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (x^2 + 5x + 7)' = 2x + 5 \] \[ (x + 2)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{(2x + 5)(x + 2) - (x^2 + 5x + 7)}{(x + 2)^2} \] Rút gọn biểu thức: \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + 5x + 10 - x^2 - 5x - 7}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} \] Bước 2: Tìm điểm cực trị Điều kiện để hàm số có cực trị là đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = 0 \] Phân số bằng 0 khi tử số bằng 0: \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \] \[ (x + 1)(x + 3) = 0 \] Vậy: \[ x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 \] Bước 3: Tìm tọa độ của các điểm cực trị Thay \( x = -1 \) và \( x = -3 \) vào hàm số ban đầu để tìm \( y \): - Khi \( x = -1 \): \[ y = \frac{(-1)^2 + 5(-1) + 7}{-1 + 2} = \frac{1 - 5 + 7}{1} = 3 \] - Khi \( x = -3 \): \[ y = \frac{(-3)^2 + 5(-3) + 7}{-3 + 2} = \frac{9 - 15 + 7}{-1} = -1 \] Vậy hai điểm cực trị là \( (-1, 3) \) và \( (-3, -1) \). Bước 4: Tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Thay tọa độ của hai điểm: \[ d = \sqrt{((-3) - (-1))^2 + ((-1) - 3)^2} \] \[ d = \sqrt{(-3 + 1)^2 + (-1 - 3)^2} \] \[ d = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} \] \[ d = \sqrt{4 + 16} \] \[ d = \sqrt{20} \] \[ d = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \] Vậy độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \( 4.47 \).