giúp mik 🫶🏻🫶🏻🫶🏻🫶🏻🫶🏻🫶🏻🫶🏻🫶🏻

Câu 3: a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{AB} = (3 - 1, 1 - 3, 3 - 4) = (2, -2, -1)$. b) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 3, 4)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (2, -2, -1)$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 4 - t \end{array} \right. \] với $t$ là tham số. c) Để kiểm tra điểm $M(-1, 5, 3)$ có thuộc đường thẳng $\Delta$ hay không, ta thay tọa độ của $M$ vào phương trình tham số của $\Delta$ và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của $t$ thỏa mãn tất cả các phương trình hay không. Thay $x = -1$, $y = 5$, $z = 3$ vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} -1 = 1 + 2t \\ 5 = 3 - 2t \\ 3 = 4 - t \end{array} \right. \] Giải từng phương trình: 1. $-1 = 1 + 2t \Rightarrow 2t = -2 \Rightarrow t = -1$ 2. $5 = 3 - 2t \Rightarrow 2t = -2 \Rightarrow t = -1$ 3. $3 = 4 - t \Rightarrow t = 1$ Nhìn thấy rằng $t = -1$ thỏa mãn hai phương trình đầu tiên nhưng không thỏa mãn phương trình thứ ba. Do đó, điểm $M(-1, 5, 3)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. d) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 3, 4)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (2, -2, -1)$ là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{-1} \] Đáp số: a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $(2, -2, -1)$. b) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 4 - t \end{array} \right. \] c) Điểm $M(-1, 5, 3)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. d) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{-1} \] Câu 4: a) Tâm I của mặt cầu (S) có tọa độ là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta tính tọa độ của I: \[ I = \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}, \frac{1 - 1}{2} \right) = (0, 1, 0) \] b) Bán kính R của mặt cầu (S) bằng nửa độ dài đoạn thẳng AB. Ta tính độ dài đoạn thẳng AB: \[ AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 4)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \] Do đó, bán kính R của mặt cầu (S) là: \[ R = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{14}}{2} = \sqrt{14} \] c) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(0, 1, 0) và bán kính R = $\sqrt{14}$ là: \[ (x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = (\sqrt{14})^2 \] \[ x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 14 \] d) Để kiểm tra điểm M(1, 2, 2) có nằm trên mặt cầu (S) hay không, ta thay tọa độ của M vào phương trình mặt cầu: \[ 1^2 + (2 - 1)^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6 \neq 14 \] Vậy điểm M(1, 2, 2) không nằm trên mặt cầu (S). Đáp số: a) Tâm I của mặt cầu (S) có tọa độ là (0, 1, 0). b) Bán kính của mặt cầu (S) bằng $\sqrt{14}$. c) Phương trình mặt cầu (S) là $x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 14$. d) Điểm M(1, 2, 2) không nằm trên mặt cầu (S). Câu 1: Để tìm giá trị của \( a \) sao cho \(\int^1_0(3x^2 - 8x + a) \, dx = 3\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân \(\int^1_0(3x^2 - 8x + a) \, dx\). \[ \int^1_0(3x^2 - 8x + a) \, dx = \left[ x^3 - 4x^2 + ax \right]^1_0 \] Bước 2: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức đã tính tích phân. \[ \left[ x^3 - 4x^2 + ax \right]^1_0 = \left( 1^3 - 4 \cdot 1^2 + a \cdot 1 \right) - \left( 0^3 - 4 \cdot 0^2 + a \cdot 0 \right) \] \[ = (1 - 4 + a) - (0) = 1 - 4 + a = -3 + a \] Bước 3: Đặt tích phân bằng 3 và giải phương trình để tìm \( a \). \[ -3 + a = 3 \] \[ a = 3 + 3 \] \[ a = 6 \] Vậy giá trị của \( a \) là \( 6 \). Câu 2: Để tìm $F(2)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 8x + 1 + \frac{4}{x^2}$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$. \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( 8x + 1 + \frac{4}{x^2} \right) \, dx \] Ta tính từng phần nguyên hàm: \[ \int 8x \, dx = 8 \cdot \frac{x^2}{2} = 4x^2 \] \[ \int 1 \, dx = x \] \[ \int \frac{4}{x^2} \, dx = 4 \int x^{-2} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{4}{x} \] Vậy nguyên hàm tổng là: \[ F(x) = 4x^2 + x - \frac{4}{x} + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng điều kiện $F(1) = 0$. Thay $x = 1$ vào $F(x)$: \[ F(1) = 4(1)^2 + 1 - \frac{4}{1} + C = 0 \] \[ 4 + 1 - 4 + C = 0 \] \[ 1 + C = 0 \] \[ C = -1 \] Vậy $F(x) = 4x^2 + x - \frac{4}{x} - 1$. Bước 3: Tính $F(2)$. Thay $x = 2$ vào $F(x)$: \[ F(2) = 4(2)^2 + 2 - \frac{4}{2} - 1 \] \[ = 4 \cdot 4 + 2 - 2 - 1 \] \[ = 16 + 2 - 2 - 1 \] \[ = 15 \] Vậy $F(2) = 15$. Câu 3: Để tính khoảng cách từ điểm \( M(3;1;3) \) đến mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm \( A(0;0;1) \), \( B(0;1;0) \), và \( C(2;0;0) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Ta tìm hai vectơ nằm trong mặt phẳng (P): - Vectơ \( \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 0, 1 - 0, 0 - 1) = (0, 1, -1) \) - Vectơ \( \overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 0, 0 - 0, 0 - 1) = (2, 0, -1) \) Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng (P) là tích vector của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \): \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 2) = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(-2) = (-1, -2, -2) \] Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ ax + by + cz + d = 0 \] Trong đó, \( (a, b, c) \) là vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (-1, -2, -2) \). Thay tọa độ của điểm \( A(0, 0, 1) \) vào phương trình để tìm \( d \): \[ -1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + d = 0 \implies -2 + d = 0 \implies d = 2 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ -x - 2y - 2z + 2 = 0 \] Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm \( M(3, 1, 3) \) đến mặt phẳng (P) Khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \frac{|-1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 3 + 2|}{\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{|-3 - 2 - 6 + 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(3, 1, 3) \) đến mặt phẳng (P) là \( 3 \). Câu 4: Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta cần tìm góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng. 1. Tìm vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $\Delta_1$ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - t_1 \\ y = 3 \\ z = -2 + \sqrt{3} t_1 \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (-1, 0, \sqrt{3})$. - Đường thẳng $\Delta_2$ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 - \sqrt{3} t_2 \\ y = 5 \\ z = 6 + t_2 \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (-\sqrt{3}, 0, 1)$. 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = (-1) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|} = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 5. Tìm góc $\theta$: \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 30^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $30^\circ$. Câu 5: Để tìm giá trị của \(d\) sao cho mặt cầu \((S):~x^2+y^2+z^2-4x+6y-8z+d=0\) có bán kính bằng 3, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn: Phương trình mặt cầu có dạng chuẩn là \((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2\), trong đó \((a, b, c)\) là tâm của mặt cầu và \(R\) là bán kính. 2. Hoàn thành bình phương: Ta sẽ hoàn thành bình phương cho các biến \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình \((S)\). - Đối với \(x\): \[ x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4 \] - Đối với \(y\): \[ y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9 \] - Đối với \(z\): \[ z^2 - 8z = (z-4)^2 - 16 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: Thay các biểu thức đã hoàn thành bình phương vào phương trình \((S)\): \[ (x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 + (z-4)^2 - 16 + d = 0 \] Gộp các hằng số lại: \[ (x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-4)^2 - 29 + d = 0 \] Di chuyển \(-29 + d\) sang phía bên phải: \[ (x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-4)^2 = 29 - d \] 4. So sánh với phương trình chuẩn: So sánh với phương trình chuẩn \((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2\), ta thấy rằng: \[ R^2 = 29 - d \] Vì bán kính \(R\) bằng 3, ta có: \[ 3^2 = 29 - d \] \[ 9 = 29 - d \] Giải phương trình này để tìm \(d\): \[ d = 29 - 9 \] \[ d = 20 \] Vậy giá trị của \(d\) để mặt cầu có bán kính bằng 3 là \(d = 20\). Câu 6: Để tính độ dài đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S): Mặt cầu $(S):~x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y + 6z - 16 = 0$ có dạng chuẩn là $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 = 25$. Do đó, tâm của mặt cầu là $I(-1, 1, -3)$ và bán kính $R = 5$. 2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt cầu (S): Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số là: \[ \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = -3 + 2t \end{cases} \] Thay vào phương trình mặt cầu $(S)$: \[ (-1 + 2t + 1)^2 + (1 + t - 1)^2 + (-3 + 2t + 3)^2 = 25 \] \[ (2t)^2 + t^2 + (2t)^2 = 25 \] \[ 4t^2 + t^2 + 4t^2 = 25 \] \[ 9t^2 = 25 \] \[ t^2 = \frac{25}{9} \] \[ t = \pm \frac{5}{3} \] 3. Tìm tọa độ của hai điểm A và B: - Với $t = \frac{5}{3}$: \[ \begin{cases} x = -1 + 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{7}{3} \\ y = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} \\ z = -3 + 2 \cdot \frac{5}{3} = -\frac{1}{3} \end{cases} \] Điểm A có tọa độ $\left( \frac{7}{3}, \frac{8}{3}, -\frac{1}{3} \right)$. - Với $t = -\frac{5}{3}$: \[ \begin{cases} x = -1 + 2 \cdot \left( -\frac{5}{3} \right) = -\frac{13}{3} \\ y = 1 - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3} \\ z = -3 + 2 \cdot \left( -\frac{5}{3} \right) = -\frac{19}{3} \end{cases} \] Điểm B có tọa độ $\left( -\frac{13}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{19}{3} \right)$. 4. Tính độ dài đoạn thẳng AB: Độ dài đoạn thẳng AB là: \[ AB = \sqrt{\left( \frac{7}{3} - \left( -\frac{13}{3} \right) \right)^2 + \left( \frac{8}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) \right)^2 + \left( -\frac{1}{3} - \left( -\frac{19}{3} \right) \right)^2} \] \[ AB = \sqrt{\left( \frac{7}{3} + \frac{13}{3} \right)^2 + \left( \frac{8}{3} + \frac{2}{3} \right)^2 + \left( -\frac{1}{3} + \frac{19}{3} \right)^2} \] \[ AB = \sqrt{\left( \frac{20}{3} \right)^2 + \left( \frac{10}{3} \right)^2 + \left( \frac{18}{3} \right)^2} \] \[ AB = \sqrt{\frac{400}{9} + \frac{100}{9} + \frac{324}{9}} \] \[ AB = \sqrt{\frac{824}{9}} = \frac{\sqrt{824}}{3} = \frac{2\sqrt{206}}{3} \] Vậy độ dài đoạn thẳng AB là $\frac{2\sqrt{206}}{3}$.