Giup minh voi

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 1 \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 2x \) là \( 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \). - Nguyên hàm của \( 1 \) là \( x \). Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại để tìm nguyên hàm tổng của hàm số \( f(x) \). \[ F(x) = x^2 + x + C \] Bước 3: Kiểm tra các đáp án đã cho để xác định đáp án đúng. A. \( I = 2F(x) + x + C \) - Thay \( F(x) = x^2 + x + C \) vào: \[ I = 2(x^2 + x + C) + x + C = 2x^2 + 2x + 2C + x + C = 2x^2 + 3x + 3C \] - Đáp án này không đúng vì nó không giống với \( x^2 + x + C \). B. \( I = 2xF(x) + 1 + C \) - Thay \( F(x) = x^2 + x + C \) vào: \[ I = 2x(x^2 + x + C) + 1 + C = 2x^3 + 2x^2 + 2xC + 1 + C \] - Đáp án này không đúng vì nó không giống với \( x^2 + x + C \). C. \( I = 2F(x) + 1 + C \) - Thay \( F(x) = x^2 + x + C \) vào: \[ I = 2(x^2 + x + C) + 1 + C = 2x^2 + 2x + 2C + 1 + C = 2x^2 + 2x + 3C + 1 \] - Đáp án này không đúng vì nó không giống với \( x^2 + x + C \). D. \( I = 2xF(x) + x + C \) - Thay \( F(x) = x^2 + x + C \) vào: \[ I = 2x(x^2 + x + C) + x + C = 2x^3 + 2x^2 + 2xC + x + C \] - Đáp án này không đúng vì nó không giống với \( x^2 + x + C \). Như vậy, không có đáp án nào trong các lựa chọn A, B, C, D đúng với nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 1 \). Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ dựa trên việc tìm nguyên hàm của \( f(x) = 2x + 1 \), thì nguyên hàm đúng là \( F(x) = x^2 + x + C \). Đáp án: \( F(x) = x^2 + x + C \). Câu 2. Để tìm công thức nguyên hàm sai trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng công thức một. A. \( \int a^2 \, dx = \frac{a^2}{1}x + C \) - Đây là tích phân của một hằng số \( a^2 \). Tích phân của một hằng số \( k \) là \( kx + C \). Do đó, công thức này đúng. B. \( \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \) - Đây là tích phân của \( x^2 \). Theo công thức tích phân \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), công thức này đúng. C. \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \) - Đây là tích phân của \( \frac{1}{x} \). Tích phân của \( \frac{1}{x} \) là \( \ln |x| + C \). Công thức này đúng. D. \( \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C \) - Đây là tích phân của \( \frac{1}{\cos^2 x} \). Biết rằng \( \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \) và tích phân của \( \sec^2 x \) là \( \tan x + C \). Công thức này đúng. Như vậy, tất cả các công thức đều đúng ngoại trừ công thức A, vì nó không có dấu tuyệt đối ở phần \( \ln |x| \). Do đó, công thức nguyên hàm sai là: \[ \boxed{C.~\int \frac{1}{x} \, dx = \ln x + C} \] Câu 3. Để tìm các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 3 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 3x^2 \). \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 3 \). \[ \int 3 \, dx = 3x \] Bước 3: Cộng lại các kết quả trên và thêm hằng số \( C \). \[ \int (3x^2 + 3) \, dx = x^3 + 3x + C \] Như vậy, các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 3 \) là: \[ x^3 + 3x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~x^3 + x + C \] Câu 4. Theo định lý Newton-Leibniz, nếu hàm số \( f(x) \) liên tục trên đoạn \([a; b]\) và có một nguyên hàm \( F(x) \), thì tích phân của \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \) được tính bằng công thức: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Do đó, phát biểu đúng trong các lựa chọn đã cho là: \[ D. \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Lập luận từng bước: 1. Kiểm tra điều kiện của định lý Newton-Leibniz: \( f(x) \) liên tục trên đoạn \([a; b]\) và có một nguyên hàm \( F(x) \). 2. Áp dụng công thức tích phân theo định lý Newton-Leibniz: \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \). Vậy phát biểu đúng là: \[ \boxed{D. \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)} \] Câu 5. Để tính $\int^5_1 f(x) dx$, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và áp dụng tính chất của tích phân. Ta có: \[ \int^5_1 f(x) dx = \int^2_1 f(x) dx + \int^5_2 f(x) dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^2_1 f(x) dx = 1 \] và \[ \int^5_2 f(x) dx = 2025 \] Do đó, ta có thể thay các giá trị này vào công thức trên: \[ \int^5_1 f(x) dx = 1 + 2025 = 2026 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B. 2026 \] Câu 6. Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), ta cần tìm hai vectơ nằm trong mặt phẳng đó và tính tích có hướng của chúng. Bước 1: Tìm hai vectơ nằm trong mặt phẳng (ABC). Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4-2, 0-(-1), 1-3) = (2, 1, -2) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-10-2, 5-(-1), 3-3) = (-12, 6, 0) \] Bước 2: Tính tích có hướng của hai vectơ này. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ \end{array} \right| \] Áp dụng vào bài toán: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ -12 & 6 & 0 \\ \end{array} \right| \] Tính toán cụ thể: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - (-2) \cdot 6) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-2) \cdot (-12)) + \mathbf{k}(2 \cdot 6 - 1 \cdot (-12)) \] \[ = \mathbf{i}(0 + 12) - \mathbf{j}(0 - 24) + \mathbf{k}(12 + 12) \] \[ = 12\mathbf{i} + 24\mathbf{j} + 24\mathbf{k} \] \[ = (12, 24, 24) \] Bước 3: So sánh với các lựa chọn đã cho. Ta thấy rằng: \[ (12, 24, 24) = 12 \cdot (1, 2, 2) \] Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: \[ \overrightarrow{n} = (1, 2, 2) \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\overrightarrow{n_d}=(1;2;2). \] Câu 7. Để xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ trong không gian Oxyz, ta cần so sánh các hệ số của chúng. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: \[ x - 2y + 3z - 4 = 0 \] Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình: \[ 3x + 6y + 9z - 12 = 0 \] Ta thấy rằng phương trình của mặt phẳng $(Q)$ có thể viết lại dưới dạng: \[ 3(x + 2y + 3z - 4) = 0 \] \[ x + 2y + 3z - 4 = 0 \] Như vậy, phương trình của mặt phẳng $(Q)$ là: \[ x + 2y + 3z - 4 = 0 \] So sánh phương trình của $(P)$ và $(Q)$: - Mặt phẳng $(P)$: \( x - 2y + 3z - 4 = 0 \) - Mặt phẳng $(Q)$: \( x + 2y + 3z - 4 = 0 \) Ta nhận thấy rằng phương trình của $(Q)$ là phương trình của $(P)$ nhân với 3. Điều này cho thấy hai mặt phẳng này có cùng một phương trình, tức là chúng trùng nhau. Vậy vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là: A. Trùng nhau. Đáp án: A. Trùng nhau.