Bài 18. Hai bến sông A và B cách nhau 30km. Một ca nô chạy xuôi dòng từ A để đến B. Ca nô đến B rồi quay trở lại A. Thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 30 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô biế...

Bài 18. Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h; điều kiện: x > 5). Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: x + 5 (km/h). Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: x - 5 (km/h). Thời gian ca nô đi từ A đến B là: $\frac{30}{x + 5}$ (giờ). Thời gian ca nô đi từ B về A là: $\frac{30}{x - 5}$ (giờ). Theo đề bài, ta có: $\frac{30}{x - 5} - \frac{30}{x + 5} = \frac{1}{2}$ $\frac{60}{x - 5} - \frac{60}{x + 5} = 1$ $\frac{60(x + 5) - 60(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 1$ $\frac{60x + 300 - 60x + 300}{x^2 - 25} = 1$ $\frac{600}{x^2 - 25} = 1$ 600 = x^2 - 25 x^2 = 625 x = 25 hoặc x = -25 (loại) Vậy vận tốc riêng của ca nô là 25 km/h. Bài 19. Giá trị hàng bán được so với vốn là: \[ \frac{945}{800} = 1.18125 \] Coi số vốn nhập hàng nam là 100% thì số vốn nhập hàng nữ là \( x \% \) Ta có sơ đồ: Số vốn nhập hàng nam: |----| Số vốn nhập hàng nữ: |--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--| Tổng phần trăm là: \[ 100 + x \] Tổng phần trăm lãi là: \[ 15 + 20x \] Theo đề bài ta có: \[ \frac{15 + 20x}{100 + x} = 1.18125 \] Giải phương trình này: \[ 15 + 20x = 1.18125(100 + x) \] \[ 15 + 20x = 118.125 + 1.18125x \] \[ 20x - 1.18125x = 118.125 - 15 \] \[ 18.81875x = 103.125 \] \[ x = \frac{103.125}{18.81875} \] \[ x = 5.5 \] Vậy số vốn nhập hàng nữ là 55% tổng vốn. Số vốn nhập hàng nam là: \[ 800 \times \frac{100}{155} = 516.129 \text{ triệu đồng} \] Số vốn nhập hàng nữ là: \[ 800 - 516.129 = 283.871 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: - Số vốn nhập hàng nam: 516.129 triệu đồng - Số vốn nhập hàng nữ: 283.871 triệu đồng Bài 20. Gọi số tiền bác Tuấn vay từ ngân hàng A là x (tỉ đồng, điều kiện: x > 0) Số tiền bác Tuấn vay từ ngân hàng B là: 5 - x (tỉ đồng) Số tiền lãi phải trả cho ngân hàng A sau một năm là: $\frac{x \times 8}{100} = \frac{2x}{25}$ (tỉ đồng) Số tiền lãi phải trả cho ngân hàng B sau một năm là: $\frac{(5-x) \times 7}{100} = \frac{35-7x}{100}$ (tỉ đồng) Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{2x}{25} + \frac{35-7x}{100} = 3,7$ $\frac{8x + 35 - 7x}{100} = 3,7$ $x + 35 = 370$ x = 335 Vậy số tiền bác Tuấn vay từ ngân hàng A là 3,35 tỉ đồng Số tiền bác Tuấn vay từ ngân hàng B là: 5 - 3,35 = 1,65 (tỉ đồng) Đáp số: 3,35 tỉ đồng; 1,65 tỉ đồng Bài 21. a) Với m = 1, phương trình (1) trở thành: \[ x^2 - 3x - 2 = 0 \] Tính delta: \[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17 \] Các nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \] \[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \] b) Để chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m, ta cần chứng minh delta luôn dương: \[ \Delta = (2m + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 4) \] \[ \Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 8m + 16 \] \[ \Delta = 4m^2 - 4m + 17 \] Ta thấy rằng: \[ 4m^2 - 4m + 17 = 4(m^2 - m) + 17 \] Do \( m^2 - m \geq -\frac{1}{4} \) (vì \( m^2 - m = (m - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \geq -\frac{1}{4} \)), nên: \[ 4(m^2 - m) + 17 \geq 4(-\frac{1}{4}) + 17 = -1 + 17 = 16 \] Vậy \(\Delta > 0\) với mọi m, do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. c) Để phương trình có một nghiệm bằng 2, thay x = 2 vào phương trình (1): \[ 2^2 - (2m + 1) \cdot 2 + 2m - 4 = 0 \] \[ 4 - 4m - 2 + 2m - 4 = 0 \] \[ -2m - 2 = 0 \] \[ -2m = 2 \] \[ m = -1 \] Thay m = -1 vào phương trình ban đầu: \[ x^2 - (-1) \cdot 2x + 2(-1) - 4 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 2 - 4 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 6 = 0 \] Tính delta: \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28 \] Các nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = 2 \] \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{28}}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{7}}{2} = -1 - \sqrt{7} \] Vậy nghiệm còn lại là \( x_2 = -1 - \sqrt{7} \).